Question

12．設(shè)f（x）=|x+1|-|x-4|．
（1）若f（x）≤-m²+6m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）設(shè)m的最大值為m₀，a，b，c均為正實數(shù)，當(dāng)3a+4b+5c=m₀時，求a²+b²+c²的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）=|x+1|-|x-4|的最大值，f（x）_max≤-m²+6m即可．
（2）由柯西不等式（a²+b²+c²）（3²+4²+5²）≥（3a+4b+5c）²=25

解答 解（1）-5≤|x+1|-|x-4|≤5．，
由于f（x）≤-m²+6m的解集為R，
∴-m²+6m≥5，即1≤m≤5．
（2）由（1）得m的最大值為5，∴3a+4b+5c=5
由柯西不等式（a²+b²+c²）（3²+4²+5²）≥（3a+4b+5c）²=25----------（5分）
故a²+b²+c²≥$\frac{1}{2}$．（當(dāng)且僅當(dāng)a=$\frac{3}{10}$，b=$\frac{4}{10}$c=$\frac{5}{10}$時取等號）
∴a²+b²+c²的最小值為$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查絕對值不等式的最值，柯西不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．