Question

7．已知定義在R上函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}，x∈[{0，1}）\\-{x^2}，x∈[{-1，0}）\end{array}$，且f（x+2）=f（x），g（x）=$\frac{1}{x-2}$，則方程f（x）=g（x）在區(qū)間[-3，7]上的所有實(shí)根之和為（　�。�

• A． 9
• B． 10
• C． 11
• D． 12

Answer 1

分析 由f（x+2）=f（x），得到函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，分別作出函數(shù)f（x），g（x）在[-3，7]上的圖象，利用圖象觀察交點(diǎn)的個數(shù)和規(guī)律，然后進(jìn)行求解．

解答 解：∵f（x+2）=f（x），
∴函數(shù)f（x）是周期為2的周期函數(shù)，
∵g（x）=$\frac{1}{x-2}$，
∴g（x）關(guān)于直線x=2對稱．
分別作出函數(shù)f（x），g（x）在[-3，7]上的圖象，
由圖象可知兩個函數(shù)的交點(diǎn)個數(shù)為6個，設(shè)6個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大為x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，x₆，
且這6個交點(diǎn)接近點(diǎn)（2，0）對稱，
則$\frac{{x}_{1}+{x}_{6}}{2}$=2，即x₁+x₆=4，
所以x₁+x₂+x₃+x₄+x₅+x₆=3（x₁+x₆）=3×4=12，
其中x=3時，不成立，則f（x）=g（x）在區(qū)間[-3，7]上的所有實(shí)根之和為12-3=9，
故選：A．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)交點(diǎn)個數(shù)和取值的判斷，利用數(shù)形結(jié)合是解決此類問題的基本方法．本題綜合性較強(qiáng)，難度較大