Question

8．已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為2，E是棱D₁C₁的中點(diǎn)，點(diǎn)F在正方體內(nèi)部或正方體的表面上，且EF∥平面A₁BC₁，則動(dòng)點(diǎn)F的軌跡所形成的區(qū)域面積是（　�。�

• A． $\frac{9}{2}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 3$\sqrt{3}$
• D． 4$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 分別取CC₁、BC、AB、AA₁、A₁D₁的中點(diǎn) G、H、M、N、K，并連同點(diǎn)E順次鏈接，根據(jù)題意可得點(diǎn)F的軌跡為正六邊形EGHMNK，該該正六邊形EGHMNK 的邊長(zhǎng)為$\sqrt{2}$，由此求得該正六邊形EGHMNK 的面積．

解答 解：如圖所示：分別取CC₁、BC、AB、AA₁、A₁D₁的中點(diǎn) G、H、M、N、K，并連同點(diǎn)E順次鏈接，
根據(jù)EG為△C₁CD₁ 的中位線，可得EG∥CD₁，而 CD₁∥A₁B，∴EG∥A₁B．
∵A₁B?平面A₁BC₁，EG?平面A₁BC₁，∴EG∥平面A₁BC₁ ．
同理可證，GH、HM、MN、NK、KE都平行于平面A₁BC₁，
由題意可得，點(diǎn)F的軌跡為正六邊形EGHMNK，該該正六邊形EGHMNK 的邊長(zhǎng)為$\sqrt{2}$，
故該正六邊形EGHMNK 的面積為6•（$\frac{1}{2}•\sqrt{2}•\sqrt{2}•sin60°$）=3$\sqrt{3}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，直線和平面平行的判定定理的應(yīng)用，屬于中檔題．