Question

13．已知函數(shù)f（x）=|2x-1|．
（Ⅰ）若不等式f（x+$\frac{1}{2}$）≤2m+1（m＞0）的解集為[-2，2]，求實(shí)數(shù)m的值；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤2^y+$\frac{a}{2^y}$+|2x+3|，對任意的實(shí)數(shù)x，y∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得|2x|≤2m+1，（m＞0），由解集為[-2，2]，可得m+$\frac{1}{2}$=2，即可得到m的值；
（Ⅱ）原不等式即為|2x-1|-|2x+3|≤2^y+$\frac{a}{2^y}$．運(yùn)用絕對值不等式的性質(zhì)可得不等式左邊的最大值為4，利用基本不等式可解得實(shí)數(shù)a的最小值．

解答 （本題滿分為10分）
解：（Ⅰ）由題意，知不等式|2x|≤2m+1（m＞0）解集為[-2，2]．
由|2x|≤2m+1，得-m-$\frac{1}{2}≤x≤m+\frac{1}{2}$，…2分
所以，由m+$\frac{1}{2}$=2，解得m=$\frac{3}{2}$．…4分
（Ⅱ）不等式f（x）≤2^y+$\frac{a}{2^y}$+|2x+3|等價(jià)于|2x-1|-|2x+3|≤2^y+$\frac{a}{2^y}$，
由題意知（|2x-1|-|2x+3|）_max≤2^y+$\frac{a}{2^y}$，…6分
因?yàn)閨2x-1|-|2x+3|≤|（2x-1）-（2x+3）|=4，
所以2^y+$\frac{a}{2^y}$≥4，即a≥2^y（4-2^y）對任意的y∈R都成立，
則a≥[2^y（4-2^y）]_max，…8分
而${2^y}（4-{2^y}）≤{[\frac{{{2^y}+（4-{2^y}）}}{2}]^2}$=4，當(dāng)且僅當(dāng)2^y=4-2^y，即y=1時(shí)等號成立，
故a≥4，
所以實(shí)數(shù)a的最小值為4．…10分．

點(diǎn)評 本題考查不等式的解法，注意運(yùn)用方程和不等式的轉(zhuǎn)化思想，注意運(yùn)用絕對值不等式的性質(zhì)和基本不等式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．