Question

給出定義：若m-

1

2

＜x≤m+

1

2

，（其中m為整數(shù)），則m叫作離實(shí)數(shù)x最近的整數(shù)，記作{x}，即{x}=m，在此基礎(chǔ)上，給出下列關(guān)于函數(shù)f（x）=|{x}-x|的命題：
①函數(shù)f（x）的定義域是R，值域是[-

1

2

，

1

2

]；
②函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；
③函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
④函數(shù)y=f（x）在[-

1

2

，

1

2

]上是增函數(shù)；
其中說(shuō)法正確的是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①由m-

1

2

＜x≤m+

1

2

得-

1

2

＜x-m≤

1

2

，所以0≤|x-m|≤

1

2

，所以便可得到f（x）的值域?yàn)?span id="hbrfdvn" class="MathJye">[0，

1

2

]，所以該命題錯(cuò)誤；
②先根據(jù)條件說(shuō)明f（-x）=f（x），即f（x）為偶函數(shù)，所以便的得到圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；
③由f（-x）=f（x）便知f（x）的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
④由f（-

1

2

）=f（

1

2

）便知函數(shù)f（x）在[-

1

2

，

1

2

]上不是增函數(shù)．

解答： 解：①∵m-

1

2

＜x≤m+

1

2

，∴-

1

2

＜x-m≤

1

2

，∴0≤|x-m|≤

1

2

．即0≤|{x}-x|≤

1

2

；
∴f（x）的值域是：[0，

1

2

]，∴①錯(cuò)誤；
②當(dāng)m-

1

2

＜x＜m+

1

2

時(shí)，-m-

1

2

＜-x＜-m+

1

2

，∴{-x}=-m；
f（-x）=|{-x}+x|=|-m+x|=|m-x|=|{x}-x|=f（x）；
當(dāng)x=m+

1

2

時(shí)，{-x}={-m-

1

2

}=-m-1，∴f（-x）=|-m-1-（-m-

1

2

）|=

1

2

=|{m+

1

2

}-(m+

1

2

)|=|m-(m+

1

2

)|=f（x）；
∴綜上得f（-x）=f（x），∴函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，所以圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，∴②正確；
③由②知f（-x）=f（x），∴點(diǎn)（-x，f（x）），與（x，f（x））不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
所以f（x）圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴③錯(cuò)誤；
④f（-

1

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）=f（

1

2

），即-

1

2

＜

1

2

，而f(-

1

2

)不小于f(

1

2

)，∴f（x）在[-

1

2

，

1

2

]上不是增函數(shù)，∴④錯(cuò)誤；
∴說(shuō)法正確的是②．
故答案為：②．

點(diǎn)評(píng)：考查對(duì)新信息的理解與應(yīng)用能力，函數(shù)的值域，偶函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系，增函數(shù)的定義．