Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）+f（x+5）=16，當(dāng)x∈（-1，4]，f（x）=x²-2^x，則函數(shù)f（x）的在[0，2014]上的零點個數(shù)是

 

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Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)y=x² 與 y=2^x 的函數(shù)曲線在區(qū)間（0，4]有兩個交點，在區(qū)間（-1，0]區(qū)間有一個交點，f（x）=x²-2^x=16無根，可得x∈（-1，4]時，f（x）=x²-2^x有3個零點，且x∈（-6，-1]時，f（x）=x²-2^x無零點，進(jìn)而分析出函數(shù)的周期性，分段討論后，綜合討論結(jié)果可得答案．

解答： 解：y=x² 與 y=2^x 的函數(shù)曲線在區(qū)間（0，4]有兩個交點，在區(qū)間（-1，0]區(qū)間有一個交點，
但當(dāng)x∈（-1，4]時，f（x）=x²-2^x=16無根
即當(dāng)x∈（-1，4]時，f（x）=x²-2^x有3個零點
由f（x）+f（x+5）=16，
即當(dāng)x∈（-6，-1]時，f（x）=x²-2^x無零點
又∵f（x+5）+f（x+10）=f（x）+f（x+5）=16，
∴f（x+10）=f（x），即f（x）是周期為10的周期函數(shù)，
在x∈[0，2014]，分為二段x∈[0，4]，x∈（4，2014]，
在x∈[0，4]函數(shù)有兩個零點，
在x∈（4，2004]有201個完整周期，即有603個零點，
綜上函數(shù)f（x）在[0，2014]上的零點個數(shù)是605．
故答案為：605

點評：本題考查的知識點是根的存在性及根的個數(shù)判斷，函數(shù)的零點，其中熟練掌握對數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分析出一個周期上函數(shù)的零點個數(shù)是解答的關(guān)鍵．