【題目】已知.
(1)當(dāng)時(shí),求證:;
(2)若有三個(gè)零點(diǎn)時(shí),求的范圍.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】分析:(1)令,,,利用導(dǎo)數(shù)可得在上單調(diào)遞減,,從而可得結(jié)論; (2)有三個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于有三個(gè)零點(diǎn),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),可得是單調(diào)函數(shù),至多有一個(gè)零點(diǎn),不符合題意,當(dāng)時(shí),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性,結(jié)合函數(shù)圖象可得的范圍是.
詳解:(1)證明:,
令,,,
,
在上單調(diào)遞減,,
所以原命題成立.
(2)由 有三個(gè)零點(diǎn)可得
有三個(gè)零點(diǎn),
,
①當(dāng)時(shí),恒成立,可得至多有一個(gè)零點(diǎn),不符合題意;
②當(dāng)時(shí),恒成立,可得至多有一個(gè)零點(diǎn),不符合題意;
③當(dāng)時(shí),記得兩個(gè)零點(diǎn)為,,不妨設(shè),且,
時(shí),;時(shí),;時(shí),
觀察可得,且,
當(dāng)時(shí),;單調(diào)遞增,
所以有,即,
時(shí),,單調(diào)遞減,
時(shí),單調(diào)遞減,
由(1)知,,且,所以在上有一個(gè)零點(diǎn),
由,且,所以在上有一個(gè)零點(diǎn),
綜上可知有三個(gè)零點(diǎn),
即有三個(gè)零點(diǎn),
所求的范圍是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)若方程存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根, ,證明: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直角坐標(biāo)系中,圓的方程為,,,為圓上三個(gè)定點(diǎn),某同學(xué)從點(diǎn)開始,用擲骰子的方法移動棋子.規(guī)定:①每擲一次骰子,把一枚棋子從一個(gè)定點(diǎn)沿圓弧移動到相鄰下一個(gè)定點(diǎn);②棋子移動的方向由擲骰子決定,若擲出骰子的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù),則按圖中箭頭方向移動;若擲出骰子的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù),則按圖中箭頭相反的方向移動.設(shè)擲骰子次時(shí),棋子移動到,,處的概率分別為,,.例如:擲骰子一次時(shí),棋子移動到,,處的概率分別為,,.
(1)分別擲骰子二次,三次時(shí),求棋子分別移動到,,處的概率;
(2)擲骰子次時(shí),若以軸非負(fù)半軸為始邊,以射線,,為終邊的角的余弦值記為隨機(jī)變量,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(3)記,,,其中.證明:數(shù)列是等比數(shù)列,并求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)列是等比數(shù)列,公比大于0,前項(xiàng)和,是等差數(shù)列,已知,,,.
(Ⅰ)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式,;
(Ⅱ)設(shè)的前項(xiàng)和為
(。┣;
(ⅱ)若,記,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2021年起,我省將實(shí)行“3+1+2”高考模式,某中學(xué)為了解本校學(xué)生的選考情況,隨機(jī)調(diào)查了100位學(xué)生,其中選考化學(xué)或生物的學(xué)生共有70位,選考化學(xué)的學(xué)生共有40位,選考化學(xué)且選考生物的學(xué)生共有20位.若該校共有1500位學(xué)生,則該校選考生物的學(xué)生人數(shù)的估計(jì)值為( )
A.300B.450C.600D.750
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)在橢圓: 上, 是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)橢圓C上不與點(diǎn)重合的兩點(diǎn), 關(guān)于原點(diǎn)O對稱,直線, 分別交軸于, 兩點(diǎn).求證:以為直徑的圓被直線截得的弦長是定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了更好地支持“中小型企業(yè)”的發(fā)展,某市決定對部分企業(yè)的稅收進(jìn)行適當(dāng)?shù)臏p免,某機(jī)構(gòu)調(diào)查了當(dāng)?shù)氐闹行⌒推髽I(yè)年收入情況,并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出了樣本的頻率分布直方圖,下面三個(gè)結(jié)論:
①樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間的頻率為0.45;
②如果規(guī)定年收入在500萬元以內(nèi)的企業(yè)才能享受減免稅政策,估計(jì)有55%的當(dāng)?shù)刂行⌒推髽I(yè)能享受到減免稅政策;
③樣本的中位數(shù)為480萬元.
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為( )
A.0B.1C.2D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版)》提出了數(shù)學(xué)學(xué)科的六大核心素養(yǎng).為了比較甲、乙兩名高二學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平,現(xiàn)以六大素養(yǎng)為指標(biāo)對二人進(jìn)行了測驗(yàn),根據(jù)測驗(yàn)結(jié)果繪制了雷達(dá)圖(如圖,每項(xiàng)指標(biāo)值滿分為5分,分值高者為優(yōu)),則下面敘述正確的是( )
A.甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)高于乙
B.甲的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)
C.乙的六大素養(yǎng)中邏輯推理最差
D.乙的六大素養(yǎng)整體平均水平優(yōu)于甲
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD是邊長為4的菱形,∠BAD=60°,對角線AC與BD相交于點(diǎn)O,四邊形ACFE為梯形,EF//AC,點(diǎn)E在平面ABCD上的射影為OA的中點(diǎn),AE與平面ABCD所成角為45°.
(Ⅰ)求證:BD⊥平面ACF;
(Ⅱ)求平面DEF與平面ABCD所成角的正弦值.
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