【題目】正方形的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn).

（Ⅰ）求二面角的余弦值;

（Ⅱ）以為底面作正三棱柱,若此三棱柱另一底面三個(gè)頂點(diǎn)也都在該正方體的表面上,求這個(gè)正三棱柱的高.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）以為原點(diǎn),以的方向分別為軸, 軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面的法向量和平面的法向量，從而可求出二面角的余弦值；（Ⅱ）連接,分別取他們中點(diǎn)記為,分別連接，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，可推出且，進(jìn)而推出為三棱柱的高，結(jié)合正方形的棱長(zhǎng)為1，即可求值.

試題解析：（Ⅰ）以為原點(diǎn),以的方向分別為軸, 軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則點(diǎn), , , .

∴,.

設(shè)平面的法向量為.

∴即，解得.

平面的法向量為

∴.

由圖可知,二面角為鈍角,故余弦值為.

（Ⅱ）連接,分別取他們中點(diǎn)記為,分別連接

是的中位線,

且, 且.

且.

同理可證且, 且,此時(shí)即為三棱柱高

.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】某家庭進(jìn)行理財(cái)投資，根據(jù)長(zhǎng)期收益率市場(chǎng)預(yù)測(cè)，投資類產(chǎn)品的收益與投資額成正比，投資類產(chǎn)品的收益與投資額的算術(shù)平方根成正比．已知投資1萬元時(shí)兩類產(chǎn)品的收益分別為0．125萬元和0．5萬元．

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（2）該家庭有20萬元資金，全部用于理財(cái)投資，問：怎么分配資金能使投資獲得最大收益，其最大收益是多少萬元？

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【題目】已知函數(shù)

（1）求函數(shù)的值域；

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【題目】定義在上的函數(shù)，如果滿足：對(duì)任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱是上的有界函數(shù)，其中稱為函數(shù)的一個(gè)上界.已知函數(shù)， .

（1）若函數(shù)為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；

（2）在（1）的條件下，求函數(shù)在區(qū)間上的所有上界構(gòu)成的集合；

（3）若函數(shù)在上是以3為上界的有界函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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