Question

10．某市高二年級(jí)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)競(jìng)賽，競(jìng)賽分為初賽和決賽，規(guī)定成績(jī)?cè)?10分及110分以上的學(xué)生進(jìn)入決賽，110分以下的學(xué)生則被淘汰，現(xiàn)隨機(jī)抽取500名學(xué)生的初賽成績(jī)按[30，50），[50，70），[70，90），[90，110），[110，130），[130，150]做成頻率副本直方圖，如圖所示：（假設(shè)成績(jī)?cè)陬l率分布直方圖中各段是均勻分布的）
（1）求這500名學(xué)生中進(jìn)入決賽的人數(shù)，及進(jìn)入決賽學(xué)生的平均分（結(jié)果保留一位小數(shù)）；
（2）在全市進(jìn)入決賽的學(xué)生中，按照成績(jī)[110，130），[130，150]分層抽取6人組進(jìn)行決賽前培訓(xùn)，在從6人中選取2人擔(dān)任組長(zhǎng)，求組長(zhǎng)中至少一名同學(xué)來(lái)自于高分組[130，150]的概率．

Answer 1

分析 （1）由題意和頻率分布直方圖列出方程，求出a，由此能求出這500名學(xué)生中進(jìn)入決賽的人數(shù)，及進(jìn)入決賽學(xué)生的平均分．
（2）由題意知抽取的6人中，成績(jī)?cè)赱110，130）間的有4人，為A₁，A₂，A₃，A₄，成績(jī)?cè)赱130，150）間的有2人，設(shè)為B₁，B₂，從6人中選取2人擔(dān)任組長(zhǎng)，利用列舉法能求出組長(zhǎng)中至少一名同學(xué)來(lái)自于高分組[130，150]的概率．

解答 解：（1）由題意和頻率分布直方圖，得：$\frac{500}{500×20}$=0.0144+0.0128+0.0112+0.0056+0.0040+a，
解得a=0.0020，
∴這500名學(xué)生中進(jìn)入決賽的人數(shù)為：（0.0040+0.0020）×500×20=60，
進(jìn)入決賽學(xué)生的平均分為：
40×0.0056×20+60×0.0128×20+80×0.0144×20+100×0.0112×20+120×0.0040×20+140×0.0020×20=80.48≈80.5，
∴這500名學(xué)生中有60人進(jìn)入決賽，進(jìn)入決賽學(xué)生的平均分為80.5分．
（2）由題意知抽取的6人中，成績(jī)?cè)赱110，130）間的有4人，為A₁，A₂，A₃，A₄，
成績(jī)?cè)赱130，150）間的有2人，設(shè)為B₁，B₂，
從6人中選取2人擔(dān)任組長(zhǎng)，基本事件總數(shù)n=${C}_{6}^{2}$=15，
其中至少一名同學(xué)來(lái)自高分組[130，150）的有：
（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（A₄，B₁），（A₄，B₂），（B₁，B₂），共9種情況，
∴組長(zhǎng)中至少一名同學(xué)來(lái)自于高分組[130，150]的概率p=$\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查頻率分布直方圖、概率、列舉法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題．