Question

15．我市某大型企業(yè)2009年至2015年銷售額y（單位：億元）的數(shù)據(jù)如表所示：

年份	2009	2010	2011	2012	2013	2014	2015
代號t	1	2	3	4	5	6	7
銷售額y	27	31	35	41	49	56	62

（1）畫出年份代號與銷售額的散點圖；

（2）求y關(guān)于t的線性回歸方程，相關(guān)數(shù)據(jù)保留兩位小數(shù)；
（3）利用所求回歸方程，說出2009年至2015年該大型企業(yè)銷售額的變化情況，并預測該企業(yè)2016年的銷售額，相關(guān)數(shù)據(jù)保留兩位小數(shù)．
附：回歸直線的斜率的最小二乘法估計公式：$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t）^{2}}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{t}_{i}{y}_{i}-n\overline{t}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{t}_{i}}^{2}-n{\overline{t}}^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）有給定的坐標系中描出各組數(shù)據(jù)對應的點，可得年份代號與銷售額的散點圖；
（2）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，利用最小二乘法可得代號t和銷售額y的平均數(shù)，代入公式求出b的值，再求出a的值，寫出線性回歸方程．
（3）根據(jù)（2）求得的線性回歸方程，代入所給的t的值，預測該地區(qū)2016年的銷售額．

解答 解：（1）散點圖如圖所示，


（2）由圖表可知：$\overline{t}$=$\frac{1+2+3+4+5+6+7}{7}$=4，
$\overline{y}$=$\frac{27+31+35+41+49+56+62}{7}$=43，
$\sum_{i=1}^{7}$（t_i-$\overline{t}$）²=28，$\sum_{i=1}^{7}$（t_i-$\overline{t}$）（y_i-$\overline{y}$）=169，
$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{7}（{t}_{i}-\overline{t}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{7}（{t}_{i}-\overline{t}）^{2}}$≈6.04，
$\stackrel{^}{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$•$\overline{t}$=18.84，
∴回歸直線方程為y=6.04t+18.84；
（3）2009年至2015年，該企業(yè)銷售額逐年增長，平均每年增長6.04億元，2016年時，代號t=8，
y=6.04×8+18.84=67.16，
∴2016年，預測銷售額為67.16億元．

點評 本題考查線性回歸分析的應用，利用最小二乘法認真做出線性回歸方程的系數(shù)是解題的關(guān)鍵，這是整個題目做對的必備條件，屬于基礎題．