Question

10．在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為圓心的圓與直線x-$\sqrt{3}$y=4相切，直線l：y=kx+1與圓O交于P、Q兩點(diǎn)．
（1）若$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=-2，求實(shí)數(shù)k的值；
（2）過(guò)點(diǎn)（0，1）作直線l₁與l垂直，且直線l₂與圓O交于M，N兩點(diǎn)，求四邊形PMQN面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）考查圓與向量相結(jié)合的問(wèn)題，運(yùn)用向量的數(shù)量積公式即可；
（2）利用幾何關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）由題意，圓O的半徑r等于原點(diǎn)O到直線x-$\sqrt{3}$y=4的距離，即r=$\frac{4}{\sqrt{1+3}}$=2，
∴圓的方程為x²+y²=4，
∵$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=2×2cos∠POQ=-2，
∴cos∠POQ=-$\frac{1}{2}$，∴∠POQ=120°，
∴圓心到直線l：y=kx+1的距離d=$\frac{1}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，
∴k=0．
（2）由圖可得，|PQ|=2$\sqrt{4-wygu0ai^{2}}$，|MN|=2$\sqrt{4-y4uqeck^{′2}}$，
∴S=$\frac{1}{2}$|PQ||MN|=2$\sqrt{16-4（amk4eaw^{2}+iuqe2yg^{′2}）+k0woemu^{2}0gaucqm^{′2}}$，
又已知得，d²+d^′2=1，
故S=2$\sqrt{12+8mcygwg^{2}smw2uoa^{′2}}$≤2$\sqrt{12+\frac{1}{4}}$=2×$\frac{7}{2}$=7，
故四邊形PMQN面積S有最大值7．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓與向量相結(jié)合的問(wèn)題，考查學(xué)生運(yùn)用幾何關(guān)系進(jìn)行求解的能力，屬于中檔題．