Question

3．已知函數(shù)f（x）滿足：對任意的x＞0，都有f（x）+$\frac{1}{2}$xf′（x）＞0．則（　�。�

• A． $\frac{f（1）}{4}$＜f（2）
• B． $\frac{f（1）}{4}$＞f（2）
• C． $\frac{f（2）}{2}$＜f（4）
• D． $\frac{f（2）}{2}$＞f（4）

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=x²f（x），（x＞0），得到g（x）的單調(diào)性，求出g（1）＜g（2），從而求出答案．

解答 解：∵f（x）+$\frac{1}{2}$xf′（x）＞0，
∴2f（x）+xf′（x）＞0，
令g（x）=x²f（x），（x＞0），
∴g′（x）=x[2f（x）+xf′（x）]＞0，
∴g（x）在（0，+∞）遞增，
∴g（1）＜g（2），$\frac{f（1）}{1}$＜$\frac{f（2）}{4}$，即$\frac{f（1）}{4}$＜f（2），
故選：A．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，構(gòu)造出函數(shù)g（x）是解題的關(guān)鍵，本題是一道中檔題．