Question

4．以坐標原點為極點，以x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosθ}\\{y=\sqrt{2}sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)，θ∈[0，π]），直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)）．
（1）點D在曲線C上，且曲線C在點D處的切線與直線x+y+2=0垂直，求點D的極坐標；
（2）設直線l與曲線C有兩個不同的交點，求直線l的斜率的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設D點坐標為$（{\sqrt{2}cosθ，\sqrt{2}sinθ}）$，由曲線C在點D處的切線與直線x+y+2=0垂直，求點D的坐標，化為極坐標可得答案；
（2）先求出直線l：y=k（x-2）+2與半圓x²+y²=2（y≥0）相切時k的值，及AB的斜率，進而可得答案．

解答 解：（1）設D點坐標為$（{\sqrt{2}cosθ，\sqrt{2}sinθ}）$，
由已知得C是以O（0，0）為圓心，$\sqrt{2}$為半徑的上半圓，
因為C在點D處的切線與l垂直，
所以直線OD與直線x+y+2=0的斜率相同，即$θ=\frac{3π}{4}$，
故D點的直角坐標為（-1，1），
極坐標為$（{\sqrt{2}，\frac{3π}{4}}）$；
（2）直線l：y=k（x-2）+2與半圓x²+y²=2（y≥0）相切時，$\frac{{|{2k-2}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=\sqrt{2}$，
∴k²-4k+1=0，
∴$k=2-\sqrt{3}，k=2+\sqrt{3}$（舍去），
設點$B（{-\sqrt{2}，0}）$，則${k_{AB}}=\frac{2-0}{{2+\sqrt{2}}}=2-\sqrt{2}$，
故直線l的斜率的取值范圍為$（{2-\sqrt{3}，2-\sqrt{2}}]$．

點評 本題考查的知識點是參數(shù)方程與普通方程的互化，極坐標方程與平面直角坐標方程的互化，直線與圓的位置關系，難度中檔．