Question

2．設(shè)F₁，F(xiàn)₂為雙曲線$Γ：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的左、右焦點，P為Γ上一點，PF₂與x軸垂直，直線PF₁的斜率為$\frac{3}{4}$，則雙曲線Γ的漸近線方程為（　�。�

• A． y=±x
• B． $y=±\sqrt{2}x$
• C． $y=±\sqrt{3}x$
• D． y=±2x

Answer 1

分析 求出PF₂，則$\frac{P{F}_{2}}{{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{3}{4}$，化簡整理即可得出a，b的關(guān)系，得出漸近線方程．

解答 解：把x=c代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$得y=±$\frac{^{2}}{a}$，
∴PF₂=$\frac{^{2}}{a}$，
∵直線PF₁的斜率為$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{P{F}_{2}}{{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{^{2}}{2ac}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{ac}=\frac{3}{2}$，即2c²-2a²-3ac=0，
∴2e²-3e-2=0，∴e=2或e=-$\frac{1}{2}$（舍）．
∴$\frac{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}{a}$=2，即$\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}}=4$，∴b=$\sqrt{3}$a，
∴雙曲線的漸近線方程為y=±$\sqrt{3}$x．
故選：C．

點評 本題考查了雙曲線的性質(zhì)，屬于中檔題．