Question

12．若實數(shù)x，y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}x+2y-5≥0\\ x-y+1≥0\\ x+y-5≤0\end{array}\right.$，則z=（x-1）²+（y+1）²的最小值為（　　）

• A． $\frac{53}{4}$
• B． 10
• C． $\frac{36}{5}$
• D． 17

Answer 1

分析 作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用x²+y²的幾何意義：動點P（x，y）到（1，-1）距離的平方，即可求最小值．

解答 解：設z=（x-1）²+（y+1）²，則z的幾何意義為動點P（x，y）到（1，-1）距離的平方．
作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：
由圖象可知點P到A點的距離最小，即A點到直線x+2y-5=0的距離最�。�
由點到直線的距離公式得d=$\frac{|1-2-5|}{\sqrt{5}}$=$\frac{6}{\sqrt{5}}$，
所以z=（x-1）²+（y+1）²的最小值為d²=$\frac{36}{5}$．
故選：C

點評 本題主要考查點到直線的距離公式，以及簡單線性規(guī)劃的應用，利用目標函數(shù)的幾何意義是解決線性規(guī)劃內(nèi)容的基本方法，利用數(shù)形結合是解決本題的關鍵．