Question

14．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，其左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)P是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，且$|{\overrightarrow{OP}}|=\frac{{\sqrt{7}}}{2}，\overrightarrow{P{F_1}}•{\overrightarrow{PF}_2}=\frac{3}{4}$，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)$S（{0，\frac{1}{3}}）$，且斜率為k的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在定點(diǎn)M，使得以AB為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)定點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，得a²=2c²，設(shè)p（m，n），又F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），由$|{\overrightarrow{OP}}|=\frac{{\sqrt{7}}}{2}，\overrightarrow{P{F_1}}•{\overrightarrow{PF}_2}=\frac{3}{4}$，列出方程組求出c=1，從而a=$\sqrt{2}$，b=1，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)直線AB為：y=kx-$\frac{1}{3}$，代入橢圓，得：（2k²+1）x²-$\frac{4}{3}kx$-$\frac{16}{9}$-$\frac{16}{9}$=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、向量的數(shù)量積，結(jié)合已知條件，能求出在y軸上存在定點(diǎn)M（0，1），以AB為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)定點(diǎn)．

解答 解：（1）∵橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴${e}^{2}=\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，解得a²=2c²，
設(shè)p（m，n），又F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
∵橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)P是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，
且$|{\overrightarrow{OP}}|=\frac{{\sqrt{7}}}{2}，\overrightarrow{P{F_1}}•{\overrightarrow{PF}_2}=\frac{3}{4}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+{n}^{2}=\frac{7}{4}}\\{（-c-m，-n）•（c-m，-n）={m}^{2}-{c}^{2}+{n}^{2}=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
解得c=1，∴a=$\sqrt{2}$，b=1，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（2）設(shè)直線AB為：y=kx-$\frac{1}{3}$，代入橢圓，整理，得：
（2k²+1）x²-$\frac{4}{3}kx$-$\frac{16}{9}$-$\frac{16}{9}$=0，△＞0成立，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4k}{3（2{k}^{2}+1）}$，${x}_{1}{x}_{2}=-\frac{16}{9（2{k}^{2}+1）}$，
設(shè)存在定點(diǎn)M（m，0），使$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=0，
則（x₁，y₁-m）•（x₂，y₂-m）=${x}_{1}{x}_{2}+（k{x}_{1}-m-\frac{1}{3}）（k{x}_{2}-m-\frac{1}{3}）$=0，
整理，得$（{k}^{2}+1）{{x}_{1}{x}_{2}}^{\;}-k（m+\frac{1}{3}）（{x}_{1}+{x}_{2}）$+$（m-\frac{1}{3}）^{2}$=0，
即-16（k²+1）-12k²（m+$\frac{1}{3}$）+9（2k²+1）（m²+$\frac{2}{3}m+\frac{1}{9}$）=0，
要滿足題意，則有$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-1=0}\\{9{m}^{2}+6m-15=0}\end{array}\right.$，解得m=1，
∴在y軸上存在定點(diǎn)M（0，1），使得以AB為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)定點(diǎn)（0，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意根的判別式、韋達(dá)定理、直線方程、向量的數(shù)量積、橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．