Question

11．已知橢圓E的中心在原點，焦點F₁，F(xiàn)₂在y軸上，離心率為$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，P是橢圓E上的點，以線段PF₁為直徑的圓經過F₂，且$9\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=1$．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）作直線l與橢圓交于兩個不同的點M，N，如果線段MN被直線2x+1=0平分，求直線l的傾斜角的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設橢圓方程，則橢圓的離心率公式$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，根據(jù)橢圓的定義可知m+n=2a，由PF₂⊥F₁F₂，n²+（2c）²=m²，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算，即可求得n=$\frac{1}{3}$，代入即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（Ⅱ）設直線l的方程，代入橢圓方程，中點坐標公式及韋達定理即可求得b=$\frac{{k}^{2}+9}{2k}$，根據(jù)△＞0，即可求得直線斜率的取值范圍，求得直線的傾斜角的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由題意可設橢圓E的標準方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$，（a＞b＞0），
由題意知e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，①設丨PF₁丨=m，丨PF₂丨=n（m＞0，n＞0），則有m+n=2a，②
以線段PF₁為直徑的圓經過F₂，則PF₂⊥F₁F₂，
∴n²+（2c）²=m²，③又由$9\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=1$．
∴9mncos∠F₁PF₂=1，即9mn=$\frac{n}{m}$=1，即n²=$\frac{1}{9}$，n=$\frac{1}{3}$，
由①②③解得：a=3，c=2$\sqrt{2}$，
則b²=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
∴橢圓E的方程為$\frac{y^2}{9}+{x^2}=1$；
（Ⅱ）假設存在直線l，則依題意得l交橢圓所得弦MN被x=-$\frac{1}{2}$平分，
∴直線l的斜率存在．設直線l的方程為y=kx+b，設M（x₁，y₁），N（x₁，y₁），
則$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{9}=1}\end{array}\right.$，
消去y，整理得（k²+9）x²+2kbx+b²-9=0，
x₁+x₂=$\frac{2kb}{{k}^{2}+9}$，
△=4k²b²-4（k²+9）（b²-9）=36（k²-b²+9），
則$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{kb}{{k}^{2}+9}$=-$\frac{1}{2}$，
∴b=$\frac{{k}^{2}+9}{2k}$，將上式代入判別式，由△＞0，可得k²-（$\frac{{k}^{2}+9}{2k}$）²+9＞0，解得k＞$\sqrt{3}$或k＜-$\sqrt{3}$，
則直線l傾斜角的取值范圍為$（\frac{π}{3}，\frac{π}{2}）∪（\frac{π}{2}，\frac{2π}{3}）$．

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，中點坐標公式，考查計算能力，屬于中檔題．