Question

19．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期為π，且其圖象關(guān)于直線$x=\frac{π}{6}$對稱．
（1）求ω和φ的值；
（2）若$f（\frac{α}{2}-\frac{π}{12}）=\frac{3}{5}$，α為銳角，求$cos（α-\frac{π}{3}）$的值．

Answer 1

分析 （1）由圖象上相鄰兩個最高點的距離為π，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解?（x）的最小正周期，利用周期公式可求ω，根據(jù)對稱軸可求φ，
（2）由（1）可得f（x）的解析式，根據(jù)兩角差的余弦公式即可求出

解答 解：（1）∵$\frac{2π}{ω}=T=π$，
∴ω=2，
∵$2×\frac{π}{6}+φ=\frac{π}{2}+kπ$，
∴$φ=\frac{π}{6}+kπ$，k∈Z，
又0＜φ＜π，
∴$φ=\frac{π}{6}$．
（2）∵$f（x）=sin（2x+\frac{π}{6}）$，
∴$f（\frac{α}{2}-\frac{π}{12}）=sinα=\frac{3}{5}$．
∵α為銳角，
∴$cosα=\frac{4}{5}$．
∴$cos（α-\frac{π}{3}）=cosαcos\frac{π}{3}+sinαsin\frac{π}{3}=\frac{4}{5}×\frac{1}{2}+\frac{3}{5}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{4+3\sqrt{3}}}{10}$．

點評 本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角函數(shù)周期公式，兩角差的余弦公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．