Question

橢圓G：的兩個焦點(diǎn)F1（－c，0）、F2（c，0），M是橢圓上的

一點(diǎn)，且滿足

（Ⅰ）求離心率e的取值范圍；

（Ⅱ）當(dāng)離心率e取得最小值時，點(diǎn)N（0，3）到橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為求此時

橢圓G的方程；（ⅱ）設(shè)斜率為k（k≠0）的直線l與橢圓G相交于不同的兩點(diǎn)A、B，Q

為AB的中點(diǎn)，問A、B兩點(diǎn)能否關(guān)于過點(diǎn)的直線對稱？若能，求出k的取值范圍；若不能，請說明理由.

Answer 1

 解（I）設(shè)M（x0，y0）

                 ①

又  ②

由②得代入①式整理得

又

解得

 

（Ⅱ）（i）當(dāng)

設(shè)H（x，y）為橢圓上一點(diǎn)，則

若0

由（舍去）

若b≥3，當(dāng)y=－3時，|HN|2有最大值2b2+18

由2b2+18=50得b2=16

∴所求橢圓方程為

（ii）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0），則由

             ③

又直線PQ⊥直線l    ∴直線PQ方程為

將點(diǎn)Q（x0，y0）代入上式得，    ④

由③④得Q

（解1）而Q點(diǎn)必在橢圓內(nèi)部  

由此得

故當(dāng)時A、B兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P、Q的直線對稱.

（解2）∴AB所在直線方程為

由得

顯然1+2k2≠0

而

   

直線l與橢圓有兩不同的交點(diǎn)A、B  ∴△＞0

解得

故當(dāng)時，A、B兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P、Q的直線對稱。

（ii）另解；設(shè)直線l的方程為y=kx+b

由得

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0），則

      ③

又直線PQ⊥直線l    ∴直線PQ方程為

將點(diǎn)Q（x0，y0）代入上式得，    ④

將③代入④⑤

∵x1，x2是（*）的兩根

⑥

⑤代入⑥得

∴當(dāng)時，A、B兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P、Q的直線對稱.