Question

15．已知△ABC中，AC=2，BC=4，AB=2$\sqrt{7}$，且D是BC的中點．
（1）求AD的長；
（2）如圖，點P是以∠ACD為圓心角的劣弧AD上任意一點，求PA²+PD²的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）在三角形ABC中，利用余弦定理求出cos∠ACB的值，進而確定出∠ACB度數(shù)，在三角形ACD中求出AD的長即可；
（2）設PA=m，PD=n，由題意求出∠APD度數(shù)，在三角形APD中，利用余弦定理列出關(guān)系式，再利用基本不等式求出mn的范圍，進而確定出m²+n²的范圍，即可確定出所求式子范圍．

解答 解：（1）∵△ABC中，AC=2，BC=4，AB=2$\sqrt{7}$，且D是BC的中點，
∴由余弦定理得：cos∠ACB=$\frac{4+16-28}{2×2×4}$=-$\frac{1}{2}$，
∴∠ACB=$\frac{2π}{3}$，
又AC=CD=2，
∴AD=2×2×sin$\frac{π}{3}$=2$\sqrt{3}$；
（2）連接AP，PD，如圖所示，
設PA=m，PD=n，由題意：∠APD=$\frac{1}{2}$（2π-$\frac{2π}{3}$）=$\frac{2π}{3}$，
則在△APD中，m²+n²=12-mn，
又m²+n²≥2mn，
∴12-mn≥2mn，
解得：mn≤4，
又mn＞0，
∴0＜mn≤4，
則8≤m²+n²＜12．

點評 此題考查了余弦定理，基本不等式的應用，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．