Question

9．已知函數(shù)f（x）=sinx+tanx-2x．
（1）證明：函數(shù)f（x）在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）上單調(diào)遞增；
（2）若x∈（0，$\frac{π}{2}$），f（x）≥mx²，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)證明即可．
（2）利用導(dǎo)函數(shù)求解x∈（0，$\frac{π}{2}$），對(duì)m進(jìn)行討論，構(gòu)造函數(shù)思想，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，求解m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=sinx+tanx-2x
則$f'（x）=cosx+\frac{1}{{{{cos}^2}x}}-2$，
∵$x∈（{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}）$，
∴cosx∈（0，1]，于是$f'（x）=cosx+\frac{1}{{{{cos}^2}x}}-2≥{cos^2}x+\frac{1}{{{{cos}^2}x}}-2≥0$（等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)成立）．
故函數(shù)f（x）在$（{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}）$上單調(diào)遞增．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）在$（{0，\frac{π}{2}}）$上單調(diào)遞增，又f（0）=0，
∴f（x）＞0，
（�。┊�(dāng)m≤0時(shí)，f（x）＞0≥mx²成立．
（ⅱ）當(dāng)m＞0時(shí)，
令p（x）=sinx-x，則p'（x）=cosx-1，
當(dāng)$x∈（{0，\frac{π}{2}}）$時(shí)，p'（x）＜0，p（x）單調(diào)遞減，又p（0）=0，所以p（x）＜0，
故$x∈（{0，\frac{π}{2}}）$時(shí)，sinx＜x．（*）
由（*）式可得f（x）-mx²=sinx+tanx-2x-mx²＜tanx-x-mx²，
令g（x）=tanx-x-mx²，則g'（x）=tan²x-2mx
由（*）式可得$g'（x）＜\frac{x^2}{{{{cos}^2}x}}-2mx=\frac{x}{{{{cos}^2}x}}（{x-2m{{cos}^2}x}）$，
令h（x）=x-2mcos²x，得h（x）在$（{0，\frac{π}{2}}）$上單調(diào)遞增，
又h（0）＜0，$h（{\frac{π}{2}}）＞0$，
∴存在 $t∈（{0，\frac{π}{2}}）$使得h（t）=0，即x∈（0，t）時(shí)，h（x）＜0，
∴x∈（0，t）時(shí)，g'（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，
又∵g（0）=0，∴g（x）＜0，
即x∈（0，t）時(shí)，f（x）-mx²＜0，與f（x）＞mx²矛盾．
綜上，滿足條件的m的取值范圍是（-∞，0]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)來(lái)解決三角函數(shù)的問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求單調(diào)性討論m解決本題的關(guān)鍵．屬于難題．