Question

19．在直角坐標系xOy中，長為$\sqrt{2}$+1的線段的兩端點C，D分別在x軸、y軸上滑動，$\overrightarrow{CP}$=$\sqrt{2}$$\overrightarrow{PD}$．記點P的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）直線l與曲線E交于A，B兩點，線段AB的中點為M（${\frac{1}{2}$，1），求直線l方程．

Answer 1

分析 （1）確定坐標之間的關(guān)系，利用|$\overrightarrow{CD}$|=$\sqrt{2}$+1，求曲線E的方程；
（2）利用“點差法”可求得直線AB的斜率，再利用點斜式即可求得直線l的方程．

解答 解：（1）設(shè)C（m，0），D（0，n），P（x，y）．
由$\overrightarrow{CP}$=$\sqrt{2}$$\overrightarrow{PD}$，得（x-m，y）=$\sqrt{2}$（-x，n-y），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-m=-\sqrt{2}x}\\{y=\sqrt{2}（n-y）}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{m=（\sqrt{2}+1）x}\\{n=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}y}\end{array}\right.$
由|$\overrightarrow{CD}$|=$\sqrt{2}$+1，得m²+n²=（$\sqrt{2}$+1）²，
∴（$\sqrt{2}$+1）²x²+$\frac{（\sqrt{2}+1）^{2}}{2}$y²=（$\sqrt{2}$+1）²，整理，得曲線E的方程為x²+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（${\frac{1}{2}$，1），是線段AB的中點，
則x₁+x₂=1，y₁+y₂=2；
依題意，A，B代入方程，相減得：2（x₁+x₂）（x₁-x₂）+（y₁+y₂）（y₂-y₁）=0，
由題意知，直線l的斜率存在，
∴k_AB=-1，
∴直線l的方程為：y-1=-（x-$\frac{1}{2}$），
整理得：2x+2y-3=0．
故直線l的方程為2x+2y-3=0

點評 本題考查橢圓的方程與直線的點斜式方程，求直線l的斜率是關(guān)鍵，也是難點，著重考查點差法，屬于中檔題．