Question

8．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E，F分別為BC，A₁D₁的中點．
（1）求證：平面A₁B₁E∥平面CDF；
（2）求平面DEB₁F與平面ADD₁A₁所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AD的中點M，連EM、A₁M，推導出A₁B₁EM是平行四邊形，從而B₁E∥FD，由此能證明平面A₁B₁E∥平面CDF．
（2）以C點為空間直角坐標系的坐標原點，CD、CB、CC₁分別為x，y，z軸建系，利用向量法能求出平面DEB₁F與平面ADD₁A₁所成銳二面角的余弦值．

解答 證明：（1）在正方體中，有A₁B₁∥DC，
又E、F分別為BC、A₁D₁的中點，
取AD的中點M，連EM、A₁M，有A₁M∥FD，
∴EM∥A₁B₁，且EM=A₁B₁，即A₁B₁EM是平行四邊形，
故有B₁E∥A₁M，
所以B₁E∥FD，∴平面A₁B₁E∥平面CDF．
解：（2）以C點為空間直角坐標系的坐標原點，CD、CB、CC₁分別為x，y，z軸建系如圖，
設AB=2，則E（0，1，0），D（2，0，0），F（2，1，2），
故$\overrightarrow{DE}$=（-2，1，0），$\overrightarrow{DF}$=（0，1，2），
平面ADD₁A₁的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
不妨設平面DEB₁F的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=-2x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=y+2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，2，-1），
設平面DEB₁F與平面ADD₁A₁所成銳二面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{1•\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{6}$．
∴平面DEB₁F與平面ADD₁A₁所成銳二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點評 本題考查面面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．