Question

13．已知冪函數(shù)$f（x）={x^{-\;\frac{1}{2}{p^2}+p+\frac{3}{2}}}（p∈Z）$在（0，+∞）上是增函數(shù)，且在其定義域內(nèi)是偶函數(shù)．
（1）求p的值，并寫(xiě)出相應(yīng)的函數(shù)f（x）
（2）對(duì)于（1）中求得的函數(shù)f（x），設(shè)函數(shù)g（x）=（2q-1）f（x）+x+1，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)q，使得g（x）在區(qū)間（-∞，-4]上是減函數(shù)，且在（-4，0）上是增函數(shù)？若存在，請(qǐng)求出q值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意和冪函數(shù)的性質(zhì)列出不等式，由一元二次不等式的解法求出p的取值范圍，由p∈z求出p的值，分別代入后利用f（x）是偶函數(shù)驗(yàn)證即可；
（2）由（1）化簡(jiǎn)g（x）的解析式，對(duì)q進(jìn)行分類(lèi)討論，由條件和函數(shù)單調(diào)性分別判斷并求出q的值．

解答 解：（1）∵冪函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴$-\frac{1}{2}{p}^{2}+p+\frac{3}{2}＞0$，則p²-2p-3＜0，
解得-1＜p＜3，
由p∈z得，p=0，1，2，
當(dāng)p=0或2時(shí)，$f（x）={x^{\frac{3}{2}}}$不符合f（x）是偶函數(shù)（舍），
當(dāng)p=1時(shí)，f（x）=x²符合題意，
∴p=1，f（x）=x²；
（2）由（1）得，g（x）=（2q-1）x²+x+1，
當(dāng)2q-1=0即$q=\frac{1}{2}$時(shí)，g（x）=x+1在R上單增（舍）
當(dāng)2q-1≠0即$q≠\frac{1}{2}$時(shí)，若使g（x）在（-∞，-4]單減，且在（-4，0）增，
則對(duì)稱(chēng)軸為x=-4，即$-\frac{1}{2（2q-1）}=-4$，得 $q=\frac{9}{16}$．
經(jīng)驗(yàn)證：當(dāng)$q=\frac{9}{16}$時(shí)，能滿(mǎn)足f（x）在[-x，-4]上單減，在（-4，0）上單增．
∴存在$q=\frac{9}{16}$符合題意．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了冪函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，一元二次函數(shù)的性質(zhì)，以及一元二次不等式的解法，考查分類(lèi)討論思想，化簡(jiǎn)、計(jì)算能力，屬于中檔題．