Question

16．（1）對于任意實數(shù)a（a≠0）和b，求$\frac{|a+b|+|a-2b|}{|a|}$的最小值；
（2）在（1）的條件下，不等式|a+b|+|a-2b|≥|a|（|x-1|+|x-2|）恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）換元，再分類討論，即可求$\frac{|a+b|+|a-2b|}{|a|}$的最小值；
（2）原式等價于$\frac{|a+b|+|a-2b|}{|a|}$≥（|x-1|+|x-2|，所以有$\frac{3}{2}$≥|x-1|+|x-2|，分類討論，即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)$\frac{a}$=t，則$\frac{|a+b|+|a-2b|}{|a|}$=|t+1|+|2t-1|，
t≥$\frac{1}{2}$時，原式=3t≥$\frac{3}{2}$，
-1＜t＜$\frac{1}{2}$時，原式=-t+2∈（$\frac{3}{2}$，3），
t≤-1時，原式=-3t≥3
∴最小值為t=$\frac{1}{2}$時取到，為$\frac{3}{2}$；
（2）原式等價于$\frac{|a+b|+|a-2b|}{|a|}$≥（|x-1|+|x-2|
所以有$\frac{3}{2}$≥|x-1|+|x-2|，
x≤1，3-2x≤$\frac{3}{2}$，∴x≥$\frac{3}{4}$，∴$\frac{3}{4}$≤x≤1；
1＜x＜2，1≤$\frac{3}{2}$，∴恒成立；
x≥2，2x-3≤$\frac{3}{2}$，∴x≤$\frac{9}{4}$，∴2≤x≤$\frac{9}{4}$．
綜上所述，$\frac{3}{4}$≤x≤$\frac{9}{4}$．

點評 本題考查絕對值不等式，考查分類討論的數(shù)學思想，正確分類討論是關(guān)鍵．