Question

9．對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，c，d，定義符號(hào)$（\begin{array}{l}{a}&\\{c}&kjnj4ti\end{array}）$=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{ad-bc}（ad≥bc）}\\{\frac{1}{2}\sqrt{bc-ad}（ad＜bc）}\end{array}\right.$，已知函數(shù)f（x）=$（\begin{array}{l}{x}&{4}\\{1}&{x}\end{array}）$，直線l：kx-y+3-2k=0，若直線l與函數(shù)f（x）的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A． （-1，$\frac{2}{3}$）∪（$\frac{3}{4}$，1）
• B． （-1，$\frac{17}{24}$）
• C． （-1，$\frac{17}{24}$）∪（$\frac{3}{4}$，1）
• D． （-1，1）

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=$（\begin{array}{l}{x}&{4}\\{1}&{x}\end{array}）$=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{{x}^{2}-4}，x≥2或x≤-2}\\{\frac{1}{2}\sqrt{4-{x}^{2}}，-2＜x＜2}\end{array}\right.$，直線l：kx-y+3-2k=0過定點(diǎn)A（2，3），
①當(dāng)-2＜x＜2時(shí)，$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1（橢圓上半部分），
②x≤-2或x≥2時(shí)，x²-y²=4（雙曲線上半部分）．如圖所示．
畫出圖象，依據(jù)圖象求解．

解答 解：函數(shù)f（x）=$（\begin{array}{l}{x}&{4}\\{1}&{x}\end{array}）$=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{{x}^{2}-4}，x≥2或x≤-2}\\{\frac{1}{2}\sqrt{4-{x}^{2}}，-2＜x＜2}\end{array}\right.$，
直線l：kx-y+3-2k=0過定點(diǎn)A（2，3），
①當(dāng)-2＜x＜2時(shí)，$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1（橢圓上半部分），
②x≤-2或x≥2時(shí)，x²-y²=4（雙曲線上半部分）．如圖所示．
直線m與雙曲線漸近線平行，直線l在直線m、n之間時(shí)滿足條件，此時(shí)$\frac{3}{4}＜k＜1$，
直線e與雙曲線漸近線平行，直線l在直線e、f之間時(shí)滿足條件，此時(shí)
kx-y+3-2k=0代入橢圓方程可得：（1+4k²）x²+（24k-16k²）x+16k²-48k+32=0．
解得k=$\frac{2}{3}$
∵直線l：kx-y+3-2k=0與函數(shù)f（x）的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，∴∴$-1＜k＜\frac{2}{3}$
綜上所述，實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-1，$\frac{2}{3}$）∪（$\frac{3}{4}$，1）．
故選A

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，依據(jù)橢圓、雙曲線的性質(zhì)，結(jié)合圖象是解本題的有效辦法，屬于中檔題．