Question

6．對(duì)于數(shù)列{a_n}，定義H₀=$\frac{{{a_1}+2{a_2}+…+{2^{n-1}}{a_n}}}{n}$為{a_n}的“優(yōu)值”．現(xiàn)已知某數(shù)列的“優(yōu)值”H₀=2ⁿ⁺¹，記數(shù)列{a_n-20}的前n項(xiàng)和為S_n，則S_n的最小值為（　　）

• A． -64
• B． -68
• C． -70
• D． -72

Answer 1

分析 由{a_n}的“優(yōu)值”的定義可知a₁+2a₂+…+2^n-1•a_n=n•2ⁿ⁺¹，當(dāng)n≥2時(shí)，a₁+2a₂+…+2^n-2•a_n-1=（n-1）•2ⁿ，則求得a_n=2（n+1），則a_n-20=2n-18，由數(shù)列的單調(diào)性可知當(dāng)n=8或9時(shí)，{a_n-20}的前n項(xiàng)和為S_n，取最小值．

解答 解：由題意可知：H₀=$\frac{{{a_1}+2{a_2}+…+{2^{n-1}}{a_n}}}{n}$=2ⁿ⁺¹，
則a₁+2a₂+…+2^n-1•a_n=n•2ⁿ⁺¹，
當(dāng)n≥2時(shí)，a₁+2a₂+…+2^n-2•a_n-1=（n-1）•2ⁿ，
兩式相減得：2^n-1•a_n=n•2ⁿ⁺¹-（n-1）•2ⁿ，
a_n=2（n+1），
當(dāng)n=1時(shí)成立，
∴a_n-20=2n-18，當(dāng)a_n-20≤0時(shí)，即n≤9時(shí)，
故當(dāng)n=8或9時(shí)，{a_n-20}的前n項(xiàng)和為S_n，取最小值，
最小值為S₈=S₉=$\frac{9×（-16+0）}{2}$=-72，
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列與函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．