Question

3．若存在x∈R，使得a^3x-4≥${2^{{x^2}-x}}$（a＞0且a≠1）成立，則實數(shù)a的取值范圍是a≥2或0＜a$≤\root{9}{2}$且a≠1．

Answer 1

分析 指數(shù)型不等式取對數(shù)，討論分離參數(shù)有解問題轉(zhuǎn)化成對勾函數(shù)求最值問題

解答 解：$lo{{{g}_{2}}^{{a}^{3x-4}}}_{\;}$≥$lo{{g}_{2}}^{{2}^{{x}^{2}-x}}$=x²-x
∴（3x-4）$lo{{g}_{2}}^{a}≥{x}^{2}-x$
①∴$當3x-4=0即x=\frac{4}{3}時0≥（\frac{4}{3}）^{2}-\frac{4}{3}=\frac{4}{9}$
故舍去
②$當3x-4＞0即x＞\frac{4}{3}時{log}_{2}^{a}≥\frac{{x}^{2}-x}{3x-4}$，令t=3x-4＞0，$y=\frac{1}{9}（t+\frac{4}{t}+5）$，所以${log}_{2}^{a}$≥1．所以a≥2．
$③當3x-4＜0，即x＜\frac{4}{3}時，令t=3x-4$＜0，${log}_{2}^{a}$$≤\frac{1}{9}$，所以a$≤\root{9}{2}$
綜上，a≥2或0＜a$≤\root{9}{2}$且a≠1

點評 本題主要考查了不等式的有解問題，通過不等式取對數(shù)，討論分離參數(shù)有解問題轉(zhuǎn)化成對勾函數(shù)求最值問題