Question

19．已知函數(shù)f（x）=kx，g（x）=$\frac{lnx}{x}$，若關(guān)于x的方程f（x）=g（x），在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]內(nèi)有兩個實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A． [$\frac{1}{{e}^{2}}$，$\frac{1}{2e}$）
• B． （$\frac{1}{2e}$，$\frac{1}{e}$]
• C． （0，$\frac{1}{{e}^{2}}$）
• D． （$\frac{1}{e}$，+∞）

Answer 1

分析 將方程的解的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個數(shù)問題；通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值；通過對k與函數(shù)h（x）的極值的大小關(guān)系的討論得到結(jié)論．

解答 解：由f（x）=g（x），
∴kx=$\frac{lnx}{x}$，
∴k=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，
令h（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，
∵方程f（x）=g（x）在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]內(nèi)有兩個實(shí)數(shù)解，
∴h（x）在[$\frac{1}{e}$，e]內(nèi)的圖象與直線y=k有兩個交點(diǎn)．
∴h′（x）=$\frac{1-2lnx}{{x}^{3}}$，
令h′（x）=0，則x=$\sqrt{e}$，
當(dāng)x∈[$\frac{1}{e}$，$\sqrt{e}$]內(nèi)h′（x）＞0，當(dāng)x∈[$\sqrt{e}$，e]內(nèi)h′（x）＜0，
當(dāng)x=$\sqrt{e}$，h（x）=$\frac{1}{2e}$，當(dāng)x=e時，h（e）=$\frac{1}{{e}^{2}}$，當(dāng)x=$\frac{1}{e}$，h（x）=-e²，
故當(dāng)k∈[$\frac{1}{{e}^{2}}$，$\frac{1}{2e}$）時，該方程有兩個解．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查通過導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的極值、求函數(shù)交點(diǎn)的個數(shù)．