Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-ax（a∈R）．
（1）若曲線y=f（x）在點A（1，f（1））處的切線L的方程，并證明：除點A外，曲線y=f（x）都在直線L的下方；
（2）若函數(shù)h（x）=e^x+f（x）在區(qū)間（1，3）上有零點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算f（1），f′（1），求出切線方程，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為a=$\frac{{e}^{x}+lnx}{x}$在x∈（1，3）上有實數(shù)根，設(shè)F（x）=$\frac{{e}^{x}+lnx}{x}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出F（x）的最大值和最小值，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（1）∵f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，∴f′（1）=1-a，
∵f（1）=-a，∴L的方程是：y+a=（1-a）（x-1），即y=（1-a）x-1，
設(shè)p（x）=f（x）-（1-a）x+1=lnx-x+1，則p′（x）=$\frac{1-x}{x}$，
若x＞1，p′（x）＜0，若0＜x＜1，p′（x）＞0，
故p（x）_max=p（1）=0，p（x）≤0，
∴f（x）≤（1-a）x-1，當且僅當x=1時“=”成立，
故除點A外，切線y=f（x）都在直線L的下方；
（2）h（x）=e^x+f（x）在區(qū)間（1，3）上有零點，
即a=$\frac{{e}^{x}+lnx}{x}$在x∈（1，3）上有實數(shù)根，
設(shè)F（x）=$\frac{{e}^{x}+lnx}{x}$，則F′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）+1-lnx}{{x}^{2}}$，
設(shè)g（x）=e^x（x-1）+1-lnx，則g′（x）=x（e^x-$\frac{1}{{x}^{2}}$），
而y=e^x-$\frac{1}{{x}^{2}}$（x＞0）的零點在（0，1）上，且y＞0在（1，3）恒成立，
∴g′（x）＞0，即g（x）在（1，3）上都在，
∴g（x）＞g（1）=1，則F′（x）＞0在（1，3）上恒成立，
∴F（x）在（1，3）上遞增，
故F（x）_min=F（1）=e，F(xiàn)（x）_max=F（3）=$\frac{{e}^{3}+ln3}{3}$，
∴F（x）∈（e，$\frac{{e}^{3}+ln3}{3}$），
故a∈（e，$\frac{{e}^{3}+ln3}{3}$）．

點評 本題考查了切線方程，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．