Question

5．已知三棱錐P-A BC四個頂點都在半徑為2的球面上，PA⊥面ABC，PA=2，底面ABC是正三角形，點E是線段AB的中點，過點E作球O的截面，則截面面積的最小值是（　　）

• A． $\frac{7π}{4}$
• B． 2π
• C． $\frac{9π}{4}$
• D． 3π

Answer 1

分析 設(shè)正△ABC的中心為O₁，連結(jié)O₁A．根據(jù)球的截面圓性質(zhì)、正三角形的性質(zhì)與勾股定理，而經(jīng)過點E的球O的截面，當(dāng)截面與OE垂直時截面圓的半徑最小，相應(yīng)地截面圓的面積有最小值，由此算出截面圓半徑的最小值，從而可得截面面積的最小值．

解答 解：設(shè)正△ABC的中心為O₁，連結(jié)O₁A，∵O₁是正△ABC的中心，A、B、C三點都在球面上，
∴O₁O⊥平面ABC，∵PA⊥面ABC，PA=2，∴球心O到平面ABC的距離為O₁O=$\frac{1}{2}PA$=1，
∴Rt△O₁OA中，O₁A=$\sqrt{O{A}^{2}-O{{O}_{1}}^{2}}=\sqrt{3}$，∴又∵E為AB的中點，△ABC是等邊三角形，∴AE=AO₁cos30°=$\frac{3}{2}$．
∵過E作球O的截面，當(dāng)截面與OE垂直時，截面圓的半徑最小，
∴當(dāng)截面與OE垂直時，截面圓的面積有最小值．
此時截面圓的半徑r=$\frac{3}{2}$，可得截面面積為S=πr²=$\frac{9π}{4}$，
故選：C．

點評 本題已知球的內(nèi)接正三角形與球心的距離，求經(jīng)過正三角形中點的最小截面圓的面積．著重考查了勾股定理、球的截面圓性質(zhì)與正三角形的性質(zhì)等知識，屬于中檔題．