Question

14．已知函數(shù)f（x）的定義域是R，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+ax+1（x≤0）}\\{8ln（x+1）+1（x＞0）}\end{array}\right.$  （a為小于0的常數(shù)）設(shè)x₁＜x₂ 且f′（x₁）=f′（x₂），若x₂-x₁ 的最小值大于5，則a的范圍是（-∞，-4）．

Answer 1

分析 求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，作出圖象，再求出與直線y=-2x+a平行的直線與函數(shù)y=$\frac{8}{x+1}$的切點(diǎn)的坐標(biāo)，則答案可求．

解答 解：由f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+ax+1（x≤0）}\\{8ln（x+1）+1（x＞0）}\end{array}\right.$，得$f′（x）=\left\{\begin{array}{l}{-2x+a（x≤0）}\\{\frac{8}{x+1}（x＞0）}\end{array}\right.$．
作出導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖：

設(shè)與直線y=-2x+a平行的直線與函數(shù)y=$\frac{8}{x+1}$的切點(diǎn)為P（${x}_{0}，\frac{8}{{x}_{0}+1}$）（x₀＞0），
由y=$\frac{8}{x+1}$，得y′=$-\frac{8}{（x+1）^{2}}$，則$y′{|}_{x={x}_{0}}=-\frac{8}{（{x}_{0}+1）^{2}}$=-2，
解得x₀=1，則${y}_{0}=\frac{8}{{x}_{0}+1}=4$，
∴x₂=1，在直線y=-2x+a中，取y=4，得${x}_{1}=\frac{a-4}{2}$．
由x₂-x₁=1-$\frac{a-4}{2}=3-\frac{a}{2}$＞5，得a＜-4．
∴a的范圍是（-∞，-4）．
故答案為：（-∞，-4）．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的最值及其幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．