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17.在△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a,b,c,且滿足a2-b2-c2+$\sqrt{3}$bc=0,2bsinA=a,BC邊上中線AM的長為$\sqrt{14}$
( I)求角A和角B的大;
( II)求△ABC的各邊長.

分析 (Ⅰ)利用余弦定理表示出cosA,將已知等式變形后代入求出cosA的值,確定出角A的度數,將2bsinA=a利用正弦定理化簡求出sinB的值,即可確定出角B的大;
(Ⅱ)由A=B,利用等角對等邊得到a=b,設a=b=x,利用余弦定理列出關于x的方程,求出方程的解得到x的值,確定出a與b的長,再由sinC的值,利用正弦定理可求c的值.

解答 解:(Ⅰ)由a2-b2-c2+$\sqrt{3}$bc=0得:a2-b2-c2=-$\sqrt{3}$bc,即b2+c2-a2=$\sqrt{3}$bc,
∴由余弦定理得:cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∵A為三角形內角,
∴A=$\frac{π}{6}$,
由2bsinA=a,利用正弦定理化簡得:2sinBsinA=sinA,即sinB=$\frac{1}{2}$,
則B=$\frac{π}{6}$.--------5分
(Ⅱ)由A=B,得到a=b=x,可得C=$\frac{2π}{3}$,
由余弦定理得AM2=x2+$\frac{{x}^{2}}{4}$-2x•$\frac{x}{2}$•(-$\frac{1}{2}$)=14,
解得:x=2$\sqrt{2}$,
可得:a=b=2$\sqrt{2}$,c=$\frac{asinC}{sinA}$=$\frac{2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}$=2$\sqrt{6}$.----------10分.

點評 此題考查了正弦、余弦定理,以及三角形面積公式,熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵,屬于基礎題.

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