Question

7．已知數(shù)列{b_n}滿足：b₂=8，$|\begin{array}{l}{_{n+1}}&{_{n}}\\{n+1}&{n-1}\end{array}|$=0．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）令b_n=a_n+n（n∈N*），是否存在非零實數(shù)p，q使得{$\frac{{a}_{n}}{np+q}$}成等差數(shù)列？說明理由．

Answer 1

分析 （1）由$|\begin{array}{l}{_{n+1}}&{_{n}}\\{n+1}&{n-1}\end{array}|$=0，可得（n-1）b_n+1=（n+1）b_n，n=1時，b₁=0．n≥2時，$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=$\frac{n+1}{n-1}$．利用“累乘求積”方法即可得出．
（2）b_n=a_n+n（n∈N*），可得a_n=4n²-5n．假設(shè)存在非零實數(shù)p，q使得{$\frac{{a}_{n}}{np+q}$}成等差數(shù)列，則$\frac{2{a}_{2}}{2p+q}$=$\frac{{a}_{1}}{p+q}$+$\frac{{a}_{3}}{3p+q}$，化簡即可得出．

解答 解：（1）∵$|\begin{array}{l}{_{n+1}}&{_{n}}\\{n+1}&{n-1}\end{array}|$=0，∴（n-1）b_n+1=（n+1）b_n，n=1時，b₁=0．
n≥2時，$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=$\frac{n+1}{n-1}$．
∴b_n=$\frac{n}{n-2}•\frac{n-1}{n-3}•\frac{n-2}{n-4}$•…$•\frac{5}{3}×\frac{4}{2}$×$\frac{3}{1}×8$
=4n（n-1），n=1時也成立．
∴b_n=4n（n-1）．
（2）b_n=a_n+n（n∈N*），∴a_n=4n²-5n．
假設(shè)存在非零實數(shù)p，q使得{$\frac{{a}_{n}}{np+q}$}成等差數(shù)列，則$\frac{2{a}_{2}}{2p+q}$=$\frac{{a}_{1}}{p+q}$+$\frac{{a}_{3}}{3p+q}$，
∴$\frac{12}{2p+q}$=$\frac{-1}{p+q}$+$\frac{21}{3p+q}$，
化為：4q²+5pq=0，
解得$\frac{p}{q}$=$\frac{-2}{5}$．
因此存在非零實數(shù)p，q使得{$\frac{{a}_{n}}{np+q}$}成等差數(shù)列．

點評 本題考查了等差數(shù)列的定義及其通項公式、行列式的性質(zhì)、“累乘求積”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．