Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若在處導(dǎo)數(shù)相等，證明：為定值，并求出該定值；

（2）已知對于任意，直線與曲線有唯一公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）6；（2）

【解析】

（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合在處導(dǎo)數(shù)相等及根與系數(shù)的關(guān)系可得，從而求得為定值6；（2）由，可知函數(shù)在的圖象為下凸，在的圖象為上凸，求得函數(shù)的極大值點(diǎn)，再由直線過點(diǎn)，然后對分類討論求使直線與曲線有唯一公共點(diǎn)的實(shí)數(shù)的取值范圍．

（1）證明：，，

由題意得，，

則

；

（2）解：，

函數(shù)在的圖象為下凸，在的圖象為上凸，

記，求得處的切線為，再記，

由，求得的極大值點(diǎn)為，

①當(dāng)時(shí)，直線與曲線顯然只有唯一公共點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，直線斜率為正，且與曲線有三個(gè)公共點(diǎn)，舍去；

③當(dāng)時(shí)，直線斜率為正，且與曲線有三個(gè)公共點(diǎn)，舍去；

④當(dāng)時(shí)，若，在直線上方，直線與曲線的上凸部分有唯一公共點(diǎn)，與下凸部分不相交；

若，直線與曲線）交于P點(diǎn)，與上凸部分和下凸部分均不相交；

若，在直線下方，直線y=kx+a與曲線的下凸部分有唯一公共點(diǎn)，與上凸部分不相交，此種情況成立．

綜上，的取值范圍為．