【題目】已知,函數(shù).
(1)是函數(shù)數(shù)的導函數(shù),記,若在區(qū)間上為單調函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;
(2)設實數(shù),求證:對任意實數(shù),總有成立.
附:簡單復合函數(shù)求導法則為.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【解析】
(1)由題得,再對a分兩種情況討論結合導數(shù)得解;(2)不妨設,取為自變量構造函數(shù),再證明,即證得.
(1)由已知得,記,則.
①若,,在定義域上單調遞增,符合題意;
②若,令解得,自身單調遞增,
要使導函數(shù)在區(qū)間上為單調函數(shù),
則需,解得,
此時導函數(shù)在區(qū)間上為單調遞減函數(shù).
綜合①②得使導函數(shù)在區(qū)間上為單調函數(shù)的的取值范圍是.
(2)因為,不妨設,取為自變量構造函數(shù),
,則其導數(shù)為
在R上單調遞增
而且,
所以,
即.
故關于的函數(shù)單調遞增,
即證得.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】對于雙曲線:(),若點滿足,則稱在的外部;若點滿足,則稱在的內部.
(1)若直線上點都在的外部,求的取值范圍;
(2)若過點,圓()在內部及上的點構成的圓弧長等于該圓周長的一半,求、滿足的關系式及的取值范圍;
(3)若曲線()上的點都在的外部,求的取值范圍.
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【題目】已知集合函數(shù),函數(shù)的值域為,
(1)若不等式的解集為,求的值;
(2)在(1)的條件下,若恒成立,求的取值范圍;
(3)若關于的不等式的解集,求實數(shù)的值
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【題目】設函數(shù)由方程到確定,對于函數(shù)給出下列命題:
①對任意,都有恒成立:
②,使得且同時成立;
③對于任意恒成立;
④對任意,,
都有恒成立.其中正確的命題共有( )
A.1個B.2個C.3個D.4個
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【題目】如圖圓錐PO,軸截面PAB是邊長為2的等邊三角形,過底面圓心O作平行于母線PA的平面,與圓錐側面的交線是以E為頂點的拋物線的一部分,則該拋物線的焦點到其頂點E的距離為( )
A.1B.C.D.
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【題目】(理)已知數(shù)列滿足(),首項.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)求數(shù)列的前項和;
(3)數(shù)列滿足,記數(shù)列的前項和為,是△ABC的內角,若對于任意恒成立,求角的取值范圍.
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【題目】對于定義在上的函數(shù),若函數(shù)滿足:①在區(qū)間上單調遞減;②存在常數(shù)p,使其值域為,則稱函數(shù)為的“漸近函數(shù)”;
(1)證明:函數(shù)是函數(shù)的漸近函數(shù),并求此時實數(shù)p的值;
(2)若函數(shù),證明:當時,不是的漸近函數(shù).
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【題目】甲乙兩人同時參加一次數(shù)學測試,共有20道選擇題,每題均有4個選項,答對得3分,答錯或不答得0分,甲和乙都解答了所有的試題,經比較,他們只有2道題的選項不同,如果甲最終的得分為54分,那么乙的所有可能的得分值組成的集合為________.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,空間直角坐標系中,四棱錐的底面是邊長為的正方形,且底面在平面內,點在軸正半軸上,平面,側棱與底面所成角為45°;
(1)若是頂點在原點,且過、兩點的拋物線上的動點,試給出與滿足的關系式;
(2)若是棱上的一個定點,它到平面的距離為(),寫出、兩點之間的距離,并求的最小值;
(3)是否存在一個實數(shù)(),使得當取得最小值時,異面直線與互相垂直?請說明理由;
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