Question

10．各項均為正數(shù)的數(shù)列{x_n}對一切n∈N^x均滿足x_n+$\frac{1}{{x}_{n+1}}$＜2．證明：
（1）x_n＜x_n+1
（2）1-$\frac{1}{n}$＜x_n＜1．

Answer 1

分析 （1）通過不等式的基本性質(zhì)，化簡證明即可．
（2）利用數(shù)學歸納法的證明步驟，結(jié)合放縮法證明即可．

解答 證明：（1）因為x_n＞0，x_n+$\frac{1}{{x}_{n+1}}$＜2，
所以0＜$\frac{1}{{x}_{n+1}}$＜2-x_n，
所以x_n+1＞$\frac{1}{2-{x}_{n}}$，且2-x_n＞0．
因為$\frac{1}{2-{x}_{n}}$-x_n=$\frac{{x}_{n}^{2}-2{x}_{n}+1}{2-{x}_{n}}$=$\frac{（{x}_{n}-1）^{2}}{2-{x}_{n}}$．
所以$\frac{1}{2-{x}_{n}}$≥x_n．
所以x_n≤$\frac{1}{2-{x}_{n}}$＜x_n+1．即x_n＜x_n+1．
（2）下面用數(shù)學歸納法證明：．
①當n=1時，由題設(shè)x₁＞0可知結(jié)論成立；
②假設(shè)n=k時，x_k＞1-$\frac{1}{k}$；
當n=k+1時，由（1）得，x_k+1＞$\frac{1}{2-{x}_{k}}$＞$\frac{1}{2-（1-\frac{1}{k}）}$=$\frac{k}{k+1}$=1-$\frac{1}{k+1}$
由①，②可得x_n＞1-$\frac{1}{n}$．                     
下面先證明x_n≤1．
假設(shè)存在自然數(shù)k，使得x_k＞1，則一定存在自然數(shù)m，使得x_k＞1+$\frac{1}{m}$．
因為${x}_{k}+\frac{1}{{x}_{k+1}}$＜2，x_k+1＞$\frac{1}{2-{x}_{k}}$＞$\frac{1}{2-（1+\frac{1}{m}）}$=$\frac{m}{m-1}$，
x_k+2＞$\frac{1}{2-{x}_{k+1}}$＞$\frac{1}{2-（1+\frac{1}{m-1}）}$=$\frac{m-1}{m-2}$，
…x_k+m-1＞$\frac{m-（m-2）}{m-（m-1）}$=2，
與題設(shè)矛盾，所以，x_n≤1．
若x_k=1，則x_k+1＞x_k=1，根據(jù)上述證明可知存在矛盾．
所以x_n＜1成立．

點評 本題考查數(shù)列與不等式的證明方法，數(shù)學歸納法的應(yīng)用，也可以利用反證法證明．