Question

2．已知二次函數(shù)y=a（a+1）x²-（2a+1）x+1，當a=1，2，3，…，n，…時，其拋物線在x軸上截得線段長依次為d₁，d₂，…，d_n，…，則$\underset{lim}{n→∞}$（d₁+d₂+…+d_n）=（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 當a=n時，y=n（n+1）x²-（2n+1）x+1，運用韋達定理得d_n=|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{\frac{（2n+1）^{2}}{{n}^{2}（n+1）^{2}}-\frac{4}{n（n+1）}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，運用裂項相消求和可得d₁+d₂+…+d_n．由此能求出$\underset{lim}{n→∞}$（d₁+d₂+…+d_n）．

解答 解：當a=n時，y=n（n+1）x²-（2n+1）x+1，
由n（n+1）x²-（2n+1）x+1=0，
可得x₁+x₂=$\frac{2n+1}{n（n+1）}$，x₁x₂=$\frac{1}{n（n+1）}$，
由d_n=|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{\frac{（2n+1）^{2}}{{n}^{2}（n+1）^{2}}-\frac{4}{n（n+1）}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴d₁+d₂+…+d_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$．
∴$\underset{lim}{n→∞}$（d₁+d₂+…+d_n）=$\underset{lim}{n→∞}$（1-$\frac{1}{n+1}$）=1．
故選：A．

點評 本題考查函數(shù)的極限的運算，解題時要認真審題，注意裂項求和公式的合理運用，屬于中檔題．