Question

20．已知曲線E：$\frac{x^2}{a^2}+{y^2}$=1（a＞b，a≠1）上兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂）．
（1）若點(diǎn)A，B均在直線y=2x+1上，且線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-$\frac{1}{3}$，求a的值；
（2）記$\overrightarrow m=（\frac{x_1}{a}，{y_1}），\overrightarrow n=（\frac{x_2}{a}，{y_2}）$，若$\overrightarrow m⊥\overrightarrow n$為坐標(biāo)原點(diǎn)，試探求△OAB的面積是否為定值？若是，求出定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用點(diǎn)差法求得直線的斜率公式，k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=2，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可求得a的值；
（2）設(shè)直線y=kx+m代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，根據(jù)弦長(zhǎng)公式，點(diǎn)到直線的距離公式，根據(jù)三角的面積公式即可求得△OAB的面積為定值．

解答 解：（1）由題意可知：$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}^{2}}{^{2}}=1$①，$\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{2}^{2}}{^{2}}=1$②，
兩式相減得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{a}^{2}}$+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
由x₁≠x₂，則$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}$=-a²，
由A，B在直線y=2x+1，則k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=2，
A，B中點(diǎn)橫坐標(biāo)為-$\frac{1}{3}$，則中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為$\frac{1}{3}$，
∴-$\frac{1}{{a}^{2}}$=2•$\frac{\frac{2}{3}}{-\frac{2}{3}}$，
解得：a²=$\frac{1}{2}$，又a＞0，
則a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
（2）直線AB的方程為y=kx+m，
則$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，（1+a²k²）x²+2kma²x+a²（m²-1）=0，
△＞0，即（2kma²）²-4a²（m²-1）（1+a²k²）＞0，則m²＜1+a²k²，
由韋達(dá)定理可知：則x₁+x₂=-$\frac{2km{a}^{2}}{1+{a}^{2}{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{a}^{2}（{m}^{2}-1）}{1+{a}^{2}{k}^{2}}$，
由m⊥n，則$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=0，x₁x₂+a²y₁y₂=0，
從而（1+a²k²）x₁x₂+kma²（x₁+x₂）+a²m²=0，
代入并整理得2m²=1+a²k²，
由原點(diǎn)O到直線AB的距離d=$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
則△OAB的面積S=$\frac{1}{2}$•d•丨AB丨=$\frac{1}{2}$•$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$•$\sqrt{1+{k}^{2}}$•丨x₁-x₂丨，
=$\frac{1}{2}$丨m丨•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，
=$\frac{1}{2}$丨m丨•$\sqrt{（-\frac{2km{a}^{2}}{1+{a}^{2}{k}^{2}}）^{2}-4×\frac{{a}^{2}（{m}^{2}-1）}{1+{a}^{2}{k}^{2}}}$，
=$\frac{丨m丨}{1+{a}^{2}{k}^{2}}$•$\sqrt{{a}^{2}（1-{m}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}）}$，
=$\frac{丨m丨}{2m}$•$\sqrt{{a}^{2}{m}^{2}}$=$\frac{a}{2}$，
從而可得△OAB的面積$\frac{a}{2}$，為定值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式，點(diǎn)到直線的距離公式，考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．