Question

17．函數(shù)f（x）=cos²x-sin²x+2sinxcosx（x∈R）的最小正周期為π，單調遞減區(qū)間為$[kπ+\frac{π}{8}，kπ+\frac{5π}{8}]（k∈Z）$．

Answer 1

分析 根據(jù)二倍角公式、兩角和的正弦公式化簡解析式，由周期公式求出函數(shù)的最小正周期；由正弦函數(shù)的減區(qū)間、整體思想求出f（x）的單調遞減區(qū)間．

解答 解：由題意得，f（x）=cos²x-sin²x+2sinxcosx
=cos2x+sin2x=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$，
∴最小正周期T=$\frac{2π}{ω}$=π，
由$2kπ+\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{3π}{2}（k∈Z）$ 得，
$kπ+\frac{π}{8}≤x≤kπ+\frac{5π}{8}（k∈Z）$，
∴函數(shù)f（x）的單調遞減區(qū)間是$[kπ+\frac{π}{8}，kπ+\frac{5π}{8}]（k∈Z）$，
故答案為：π；$[kπ+\frac{π}{8}，kπ+\frac{5π}{8}]（k∈Z）$．

點評 本題考查正弦函數(shù)的單調性，三角函數(shù)的周期公式，以及二倍角公式、兩角和的正弦公式，屬于中檔題．