【題目】如圖，在四棱錐中，側(cè)面是等邊三角形，且平面平面、E為的中點(diǎn)，，，，.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）取中點(diǎn)F，連結(jié)，，先證四邊形為平行四邊形，進(jìn)而可得，進(jìn)而可得平面；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面和平面的法向量，利用兩法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值.

（1）如圖，取中點(diǎn)F，連結(jié)，.

因?yàn)?/span>E為中點(diǎn)，，所以，.

又因?yàn)?/span>，，所以，，

所以四邊形為平行四邊形.

所以.

又因?yàn)?/span>平面，平面，

所以平面.

（2）取中點(diǎn)O，連結(jié)，.

因?yàn)?/span>為等邊三角形，所以.

又因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，

所以平面.

因?yàn)?/span>，，

所以四邊形為平行四邊形.

因?yàn)?/span>，所以.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，.

所以，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則即令，則，

顯然，平面的一個(gè)法向量為，

則即令，則，

所以.

由題知，二面角為銳角，

所以二面角的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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①存在點(diǎn)，使得平面平面；

②存在點(diǎn)，使得平面；

③若的面積為，則；

④若、分別是在平面與平面的正投影的面積，則存在點(diǎn)，使得.

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②過點(diǎn)有且只有一條直線與直線,都相交;

③過點(diǎn)有且只有一條直線與直線,都垂直;

④過點(diǎn)有無數(shù)個(gè)平面與直線,都相交;

⑤過點(diǎn)有無數(shù)個(gè)平面與直線,都平行;

其中真命題是____．

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