Question

16．已知f（x）是偶函數(shù)，且f（x+$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$-x），當-$\frac{1}{2}$≤x≤0時，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-1，記a_n=f（$\frac{n+1}{2}$），n∈N⁺，則a₂₀₄₆的值為（　�。�

• A． 1-$\sqrt{2}$
• B． 1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\sqrt{2}$-1
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$-1

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性和對稱性求出函數(shù)是周期為1的周期函數(shù)，根據(jù)數(shù)列和函數(shù)的關系，結合函數(shù)的周期性進行轉化求解即可．

解答 解：∵f（x）是偶函數(shù)，且f（x+$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$-x），
∴f（x+$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$-x）=f（x-$\frac{1}{2}$），
即f（x+1）=f（x），
即函數(shù)f（x）是周期為1的周期函數(shù)，
則a₂₀₄₆=f（$\frac{2046+1}{2}$）=f（1023+$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$）=f（-$\frac{1}{2}$），
∵當-$\frac{1}{2}$≤x≤0時，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-1，
∴f（-$\frac{1}{2}$）=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{-\frac{1}{2}}$-1=${2}^{\frac{1}{2}}$-1=$\sqrt{2}$-1，
故a₂₀₄₆=f（-$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{2}$-1，
故選：C

點評 本題主要考查函數(shù)與數(shù)列的綜合應用，根據(jù)條件求出函數(shù)f（x）是周期函數(shù)，以及利用函數(shù)的周期性和奇偶性進行轉化是解決本題的關鍵．