Processing math: 65%
6.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F2(1,0),點(diǎn)P(1,22)在橢圓C上.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的兩條直線EF,MN分別與橢圓C交于E,F(xiàn),M,N四點(diǎn),且直線OE,OM的斜率之積為-12,求證:四邊形EMFN的面積為定值.

分析 (Ⅰ)由題意可得:{12a2+12b2=1a2b2=1,解出即可得出.
(Ⅱ)當(dāng)直線EM斜率存在時(shí),設(shè)直線方程為l:y=kx+m,E(x1,y1),M(x2,y2),與橢圓方程聯(lián)立得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,利用斜率計(jì)算公式、根與系數(shù)的關(guān)系及其kOEkOM=y1y2x1x2=12,可得2m2=2k2+1,原點(diǎn)到直線EM的距離為d=|m|1+k2,利用SOEM=12|EM|d=121+k2|x1x2||m|1+k2,代入化簡(jiǎn)即可得出定值,斜率不存在時(shí)也成立.

解答 解:(Ⅰ)∵為點(diǎn)P122在橢圓C上,橢圓C的右焦點(diǎn)為F2(1,0),
{12a2+12b2=1a2b2=1,解得{a2=2b2=1,
∴橢圓C的方程為x22+y2=1
(Ⅱ)當(dāng)直線EM斜率存在時(shí),設(shè)直線方程為l:y=kx+m,E(x1,y1),M(x2,y2),
聯(lián)立{y=kx+mx22+y2=1得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,{x1+x2=4km1+2k2x1x2=2m221+2k2
y1y2=kx1+mkx2+m=k2x1x2+kmx1+x2+m2=m22k21+2k2,
kOEkOM=y1y2x1x2=12m22k21+2k22m221+2k2=12,即2m2=2k2+1,
原點(diǎn)到直線EM的距離為d=|m|1+k2
SOEM=12|EM|d=121+k2|x1x2||m|1+k2
=|m|2|x1x2|=|m|2x1+x224x1x2=|m|24km1+2k224×2m221+2k2
=|m|216k2m242m221+2k21+2k22
=|m|281+2k2m21+2k22=|m|282m2m24m4=22,
SEMFN=4SOEM=22
當(dāng)直線EM斜率不存在時(shí),kOEkOM=y1y2x1x2=12,x1=x2,y1=-y2,∴kOEkOM=y12x12=12,
x212+y21=1,解得x21=1y21=12SEMFN=22

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長(zhǎng)問(wèn)題、斜率計(jì)算公式、平行四邊形的面積計(jì)算公式,考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

16.設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+x),g(x)=xf′(x),x≥0,其中f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).
(Ⅰ)若f(x)≥ag(x)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè)n∈N*,證明:12+13+…+1n+1<ln(n+1).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

17.已知函數(shù)y=f(x)是(-1,1)上的偶函數(shù),且在區(qū)間(-1,0)是單調(diào)遞增的,A,B,C是銳角△ABC的三個(gè)內(nèi)角,則下列不等式中一定成立的是(  )
A.f(sinA)>f(cosA)B.f(sinA)>f(cosB)C.f(sinC)<f(cosB)D.f(sinC)>f(cosB)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

14.已知集合A={0,1,2,3},B={x|x2-4x+3<0},則A∩B=( �。�
A.{2}B.{1,2}C.{1,2,3}D.{0,1,2,3}

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

1.設(shè)a=(1,2),b=(2,4),ca+bca,則λ=-2.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

11.把函數(shù)f(x)=cos(2x+φ)的圖象向左平移\frac{π}{6}個(gè)單位后,所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,則φ可以為( �。�
A.-\frac{π}{6}B.-\frac{π}{3}C.\frac{π}{6}D.\frac{π}{3}

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

18.已知橢圓C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F2(1,0),點(diǎn)P(1,\frac{{\sqrt{2}}}{2})在橢圓C上.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)E,F(xiàn)為橢圓C上的兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線OE,OF的斜率之積為-\frac{1}{2}.求證:三角形OEF的面積為定值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

15.已知向量\overrightarrow{OA}=(3,-4),\overrightarrow{OB}=(6,-3),\overrightarrow{OC}=(5-x,-3-y),\overrightarrow{OD}=(4,1)
(1)若四邊形ABCD是平行四邊形,求x,y的值;
(2)若△ABC為等腰直角三角形,且∠B為直角,求x,y的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

16.已知f(x)是偶函數(shù),且f(x+\frac{1}{2})=f(\frac{1}{2}-x),當(dāng)-\frac{1}{2}≤x≤0時(shí),f(x)=(\frac{1}{2}x-1,記an=f(\frac{n+1}{2}),n∈N+,則a2046的值為( �。�
A.1-\sqrt{2}B.1-\frac{\sqrt{2}}{2}C.\sqrt{2}-1D.\frac{\sqrt{2}}{2}-1

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案