分析 (Ⅰ)由題意可得:{12a2+12b2=1a2−b2=1,解出即可得出.
(Ⅱ)當(dāng)直線EM斜率存在時(shí),設(shè)直線方程為l:y=kx+m,E(x1,y1),M(x2,y2),與橢圓方程聯(lián)立得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,利用斜率計(jì)算公式、根與系數(shù)的關(guān)系及其kOE•kOM=y1y2x1x2=−12,可得2m2=2k2+1,原點(diǎn)到直線EM的距離為d=|m|√1+k2,利用S△OEM=12|EM|d=12√1+k2|x1−x2||m|√1+k2,代入化簡(jiǎn)即可得出定值,斜率不存在時(shí)也成立.
解答 解:(Ⅰ)∵為點(diǎn)P(1,√22)在橢圓C上,橢圓C的右焦點(diǎn)為F2(1,0),
則{12a2+12b2=1a2−b2=1,解得{a2=2b2=1,
∴橢圓C的方程為x22+y2=1.
(Ⅱ)當(dāng)直線EM斜率存在時(shí),設(shè)直線方程為l:y=kx+m,E(x1,y1),M(x2,y2),
聯(lián)立{y=kx+mx22+y2=1得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,{x1+x2=−4km1+2k2x1x2=2m2−21+2k2,
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=m2−2k21+2k2,
由kOE•kOM=y1y2x1x2=−12得m2−2k21+2k22m2−21+2k2=−12,即2m2=2k2+1,
原點(diǎn)到直線EM的距離為d=|m|√1+k2,
∴S△OEM=12|EM|d=12√1+k2|x1−x2||m|√1+k2
=|m|2|x1−x2|=|m|2√(x1+x2)2−4x1x2=|m|2√(−4km1+2k2)2−4×2m2−21+2k2
=|m|2√16k2m2−4(2m2−2)(1+2k2)(1+2k2)2
=|m|2√8(1+2k2−m2)(1+2k2)2=|m|2√8(2m2−m2)4m4=√22,
∴SEMFN=4S△OEM=2√2.
當(dāng)直線EM斜率不存在時(shí),kOE•kOM=y1y2x1x2=−12,x1=x2,y1=-y2,∴kOE•kOM=−y12x12=−12,
又x212+y21=1,解得x21=1,y21=12,SEMFN=2√2.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長(zhǎng)問(wèn)題、斜率計(jì)算公式、平行四邊形的面積計(jì)算公式,考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.
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A. | f(sinA)>f(cosA) | B. | f(sinA)>f(cosB) | C. | f(sinC)<f(cosB) | D. | f(sinC)>f(cosB) |
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A. | {2} | B. | {1,2} | C. | {1,2,3} | D. | {0,1,2,3} |
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A. | -\frac{π}{6} | B. | -\frac{π}{3} | C. | \frac{π}{6} | D. | \frac{π}{3} |
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A. | 1-\sqrt{2} | B. | 1-\frac{\sqrt{2}}{2} | C. | \sqrt{2}-1 | D. | \frac{\sqrt{2}}{2}-1 |
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