Question

【題目】如圖，在多面體中，平面平面.四邊形為正方形，四邊形為梯形，且，是邊長為1的等邊三角形，M為線段中點(diǎn)，.

(1)求證：；

(2)求直線與平面所成角的正弦值；

(3)線段上是否存在點(diǎn)N，使得直線平面？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（3）線段BD上存在點(diǎn)N,使得直線平面AFN，且，詳見解析.

【解析】

（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理證得平面，由此證得.（2）取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，證得兩兩垂直.分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，通過計(jì)算直線的方向向量和平面的法向量計(jì)算出線面角的正弦值.（3）通過向量共線設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，求得的坐標(biāo)，根據(jù)列方程，解方程求得的值，由此證得存在點(diǎn)符合題意.

(1)證明：因?yàn)?/span>為正方形，

所以．

又因?yàn)槠矫?/span>平面，

且平面平面，

所以平面．

所以．

(2)取AD中點(diǎn)O,EF中點(diǎn)K，連接OB，OK.于是在△ABD中，，在正方ADEF中，又平面平面，故平面，進(jìn)而，

即兩兩垂直．

分別以為x軸，y軸,z軸

建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）．

于是，，,,,

所以

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則 即

令，則，則．

設(shè)直線與平面所成角為，

(3) 要使直線平面，只需，

設(shè),則,

,

，所以,

又 ，由得

解得

所以線段BD上存在點(diǎn)N,使得直線平面AFN，且．