Question

設(shè)函數(shù)g（x）=ax²+bx+c（a＞0），且g（1）=-

a

2

．
（1）求證：函數(shù)g（x）有兩個零點；
（2）討論函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)的零點個數(shù)．

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理,函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由條件化簡函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的判別式，由判別式大于0恒成立得到函數(shù)f（x）有兩個零點；
（2）分c＞0時和c≤0兩種情況，判斷函數(shù)值在區(qū)間端點處的函數(shù)值的符號，根據(jù)函數(shù)零點的判定定理得出結(jié)論．

解答： 解：（1）證明：∵g（1）=a+b+c=-

a

2

，
∴3a+2b+2c=0，
∴c=-

3

2

a-b．
∴g（x）=ax²+bx-

3

2

a-b，
∴△=（2a+b）²+2a²，
∵a＞0，∴△＞0恒成立，
故函數(shù)f（x）有兩個零點．
（2）根據(jù)g（0）=c，g（2）=4a+2b+c，
由（1）知3a+2b+2c=0，
∴g（2）=a-c．
（i）當(dāng)c＞0時，有g(shù)（0）＞0，
又∵a＞0，∴g（1）=-

a

2

＜0，
故函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有一個零點，
故在區(qū)間（0，2）內(nèi)至少有一個零點．
（ii）當(dāng)c≤0時，g（1）＜0，g（0）=c≤0，g（2）=a-c＞0，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)有一零點，
綜合（i）（ii），可知函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)至少有一個零點．

點評：本題考查函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，函數(shù)的零點就是函數(shù)f（x）=0的根；零點的判定方法是，函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值異號，屬于中檔題．