Question

15．已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）=1-$\frac{a}{{2}^{x}+1}$，若0＜x≤1，都有k×f（x）≥2^x-1成立，則k的取值范圍是[3，+∞）．

Answer 1

分析 先根據(jù)奇函數(shù)的性質求出a=2，再分離參數(shù)得到k≥2^x+1恒成立，求出函數(shù)的最值即可．

解答 解：定義在R上的奇函數(shù)f（x）=1-$\frac{a}{{2}^{x}+1}$，
∴f（0）=1-$\frac{a}{2}$=0，
解得a=2，
∴f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，
∵0＜x≤1，
∴2^x-1＞0，
∵0＜x≤1，都有k×f（x）≥2^x-1成立，
∴k≥2^x+1恒成立，
∵2^x+1≤2¹+1=3，
∴k≥3，
故k的取值范圍為[3，+∞），
故答案為：[3，+∞）

點評 本題考查了奇函數(shù)的性質和恒成立的問題，分離參數(shù)是關鍵，屬于中檔題．