【題目】已知拋物線C:y=2x2 , 直線l:y=kx+2交C于A,B兩點(diǎn),M是線段AB的中點(diǎn),過M作x軸的垂線C于點(diǎn)N.
(1)證明:拋物線C在點(diǎn)N處的切線與AB平行;
(2)是否存在實(shí)數(shù)k使以AB為直徑的圓M經(jīng)過點(diǎn)N,若存在,求k的值,若不存在,說明理由.

【答案】
(1)證明:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),

把y=kx+2代入y=2x2得2x2﹣kx﹣2=0,

得x1+x2=

∵xN=xM= = ,∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為( , ).

∵y′=4x,∴y′| =k,

即拋物線在點(diǎn)N處的切線的斜率為k.

∵直線l:y=kx+2的斜率為k,

∴l(xiāng)∥AB


(2)解:假設(shè)存在實(shí)數(shù)k,使AB為直徑的圓M經(jīng)過點(diǎn)N.

由于M是AB的中點(diǎn),∴|MN|= |AB|.

由(1)知yM= (y1+y2)= (kx1+2+kx2+2)

= [k(x1+x2)+4]= (4+ )=2+ ,

由MN⊥x軸,則|MN|=|yM﹣yN|=2+ = ,

∵|AB|=

= =

=

∴k=±2,

則存在實(shí)數(shù)k=±2,使AB為直徑的圓M經(jīng)過點(diǎn)N


【解析】(1)設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2),聯(lián)立直線方程和拋物線方程,運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式,可得M,N的坐標(biāo),再由y=2x2的導(dǎo)數(shù),可得在點(diǎn)N處的切線斜率,由兩直線平行的條件即可得證;(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)k,使AB為直徑的圓M經(jīng)過點(diǎn)N.由于M是AB的中點(diǎn),則|MN|= |AB|,運(yùn)用弦長(zhǎng)公式計(jì)算化簡(jiǎn)整理,即可求得k=±2,故存在實(shí)數(shù)k,使AB為直徑的圓M經(jīng)過點(diǎn)N.

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A.
B. -1
C.
D.

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A.c>a>b
B.c>b>a
C.a>b>c
D.a>c>b

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A.
B.
C.
D.

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