Question

如圖所示，在三棱錐P－ABC中，AB＝BC＝，平面PAC⊥平面ABC，PD⊥AC于點D，AD＝1，CD＝3，PD＝.

(1)證明：△PBC為直角三角形；

(2)求直線AP與平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

解：

(1)證明：因為平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PD⊂平面PAC，PD⊥AC，

所以PD⊥平面ABC.

記AC邊上的中點為E，在△ABC中，

AB＝BC，所以BE⊥AC.

因為AB＝BC＝，AC＝4，

所以BE＝＝.

因為PD⊥AC，所以△PCD為直角三角形．

因為PD＝，CD＝3，

所以PC＝＝2.

連接BD，在Rt△BDE中，因為BE＝，DE＝1，

所以BD＝＝.

因為PD⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，所以PD⊥BD.

在Rt△PBD中，因為PD＝，BD＝，

所以PB＝＝.

在△PBC中，因為BC＝，PB＝，PC＝2，

所以BC²＋PB²＝PC²，

即△PBC為直角三角形．

(2)

以點E為坐標原點，以EB，EC所在的直線分別為x軸，y軸建立如圖的空間直角坐標系Exyz，

則A(0，－2,0)，B(，0,0)，C(0,2,0)，P(0，－1，)．

于是

設(shè)平面PBC的法向量為n＝(x，y，z)，

則

取y＝1，則z＝，x＝，

所以平面PBC的一個法向量為n＝(，1，)．

設(shè)直線AP與平面PBC所成的角為θ，

則sinθ＝|cos

所以直線AP與平面PBC所成角的正弦值為.