Question

已知函數(shù)f（x）=x²-（m+1）x+m（m∈R）．
（1）對任意實數(shù)α，恒有f（2+cosα）≤0，證明m≥3；
（2）若tanA，tanB是方程f（x）+4=0的兩個實根，A，B是銳角三角形的兩個內角，求證：m≥5．

Answer 1

考點：兩角和與差的正切函數(shù),二次函數(shù)的性質

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）利用對任意實數(shù)α，恒有f（2+cosα）≤0，結合余弦函數(shù)的范圍，推出不等式，求出x的最大值，即可證明m≥3；
（2）利用韋達定理以及若tanA，tanB是方程f（x）+4=0的兩個實根，A，B是銳角三角形的兩個內角，推出A+B的范圍，得到m的不等式組，求出m的范圍，即可證明m≥5．

解答： （1）證明：∵f（x）=x²-（m+1）x+m=（x-1）（x-m），
又-1≤cosα≤1，
∴1≤2+cosα≤3，恒有f（2+cosα）≤0，
即1≤x≤3時，恒有f（x）≤0，
即：（x-1）（x-m）≤0，
∴m≥x，又x_max=3，
故m≥3．
（2）證明：f（x）+4=0，即x²-（m+1）x+m+4=0，
由題意可得：

△=(m+1)2-4(m+4)≥0 tanA+tanB=m+1＞0 tanA•tanB=m+4＞0

又A、B為銳角三角形的兩個內角，
∴

π

2

＜A+B＜π．
∴tan（A+B）＜0，tan（A+B）=

tanA+tanB

1-tanAtanB

=

m+1

-m-3

＜0．
因而

m2-2m-15≥0 m+1＞0 m+4＞0 m+1 m+3 ＞0

，
解得m≥5．

點評：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，三角函數(shù)的最值的求法，函數(shù)恒成立的應用，考查計算能力．