Question

13．宿州市日前提出，要提升市民的生活質量，改善民生，促進“中國夢”的實線，為此，某記者在街頭隨機采訪了100名市民，根據(jù)他們對“中國夢”實線的信心情況進行統(tǒng)計分析，得到如下分布表：

信心級別	非常有信心	有信心	不知道	沒信心
信心指數(shù)（分數(shù)）	90	60	30	6
人數(shù)（名）	42	38	14	6

（Ⅰ）以這100名市民信心指數(shù)為樣本來估計市民的總體信心指數(shù)，若要從全市市民中隨機任選3人進行信心跟蹤，記ξ表示抽到信心級別為“非常有信心或有信心”市民人數(shù)，求ξ的分布列及期望；
（Ⅱ）從這100名市民中，任選兩人，記他們的信心指數(shù)分別為m、n，求|m-n|≥60的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意知ξ的可能取值為0、1、2、3，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．
（Ⅱ）先求出基本事件的總數(shù)為${C}_{100}^{2}$=4950，滿足條件|m-n|≥60的有如下各種情況：①滿足|m-n|=60時的事件數(shù)為：${C}_{42}^{1}•{C}_{14}^{1}+{C}_{38}^{1}•{C}_{6}^{1}$，②滿足|m-n|=90時的事件數(shù)為：${C}_{42}^{1}{C}_{6}^{1}$，由此能求出|m-n|≥60的概率．

解答 解：（Ⅰ）由題意知ξ的可能取值為0、1、2、3
P（ξ=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{4}{5}）^{0}（\frac{1}{5}）^{3}$=$\frac{1}{125}$，
P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{4}{5}）（\frac{1}{5}）^{2}$=$\frac{12}{125}$，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{4}{5}）^{2}（\frac{1}{5}）$=$\frac{48}{125}$，
P（ξ=3）=${C}_{5}^{3}（\frac{4}{5}）^{3}（\frac{1}{5}）^{0}$=$\frac{64}{125}$，…（4分）
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{125}$	$\frac{12}{125}$	$\frac{48}{125}$	$\frac{64}{125}$

Eξ=$0•\frac{1}{125}+1•\frac{12}{125}+2•\frac{48}{125}+3•\frac{64}{125}$=$\frac{12}{5}$．…（6分）
（Ⅱ）基本事件的總數(shù)為${C}_{100}^{2}$=4950，…（7分）
滿足條件|m-n|≥60的有如下各種情況：
①滿足|m-n|=60時的事件數(shù)為：${C}_{42}^{1}•{C}_{14}^{1}+{C}_{38}^{1}•{C}_{6}^{1}$，…（10分）
②滿足|m-n|=90時的事件數(shù)為：${C}_{42}^{1}{C}_{6}^{1}$，…（11分）
所以|m-n|≥60的概率P（|m-n|≥60）=$\frac{{C}_{42}^{1}{C}_{14}^{1}+{C}_{38}^{1}{C}_{6}^{1}+{C}_{42}^{1}{C}_{6}^{1}}{{C}_{100}^{2}}$=$\frac{534}{2475}$．…（12分）

點評 本題考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，考查概率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等可能事件概率計算公式的合理運用．